The Conway’s Way

1. Lagi-lagi Keirasionalan {\sqrt{2}}

Berikut bukti keirasionalan {\sqrt{2}} dari Conway yang sangat ringkas:
Andaikan {\sqrt{2}=\frac{p}{q}} dengan {p,q} bulat dan dalam bentuk yang paling sederhana. Maka {2q^2=p^2}. Tuliskan persamaan ini dalam bentuk

\displaystyle  \frac{2q}{p}=\frac{p}{q}.

Untuk bilangan real {x} nyatakan dengan {\{x\}} sebagai bagian {x} yang tidak bulat. Sebagai contoh {\{123,456\}=0,456}, {\{7\frac{1}{3}\}=\frac{1}{3}}. Dari persamaan di atas kita peroleh

\displaystyle  \left\{\frac{2q}{p}\right\}=\left\{\frac{p}{q}\right\}

Perhatikan bahwa jika kita memiliki bilangan rasional {x=\frac{a}{b}}, jelas bahwa {\{x\}=\frac{c}{b}} untuk suatu {0\leq c<b}. Dengan demikian dari persamaan di atas kita peroleh

\displaystyle  \frac{s}{p}=\frac{t}{q}\Leftrightarrow \frac{s}{t}=\frac{p}{q}

untuk suatu {0\leq s< p} dan {0\leq t<q}. Tapi ini mustahil terjadi karena tadi kita sudah menuliskan {\frac{p}{q}} dalam bentuk yang paling sederhana.

Bijeksi antara Z dan Q

Salah satu hal menarik ketika kita belajar tentang ketakberhinggaan adalah fakta bahwa “banyaknya” bilangan rasional sama dengan banyaknya bilangan bulat. Hal ini sepertinya berlawanan dengan akal sehat mengingat himpunan bilangan bulat termuat di himpunan bilangan rasional.

Kita ingin membuat pemetaan bijektif antara himpunan bilangan bulat {\mathbb{Z}} dengan himpunan bilangan rasional {\mathbb{Q}}. Untuk melakukannya kita cukup membuat pemetaan bijektif antara himpunan bilangan asli {\mathbb{N}} dan himpunan bilangan rasional positif {\mathbb{Q}^+} (why?).

Konstruksi berikut saya baca beberapa hari yang lalu dalam suatu artikel yang dimuat pada American Mathematical Monthly. Pertama akan dikonstruksi pemetaan bijektif antara {\mathbb{N}} dengan {\mathbb{Z}-\{0\}} (himpunan bilangan bulat taknol). Idenya adalah dengan memasangkan setiap bilangan asli genap dengan bilangan bulat positif dan memasangkan bilangan asli ganjil dengan bilangan bulat negatif. Secara eksplisit pemetaan {f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{Z}-\{0\}} didefinisikan sebagai berikut

    \[ f(n):=\begin{cases}\frac{n}{2}& \text{ jika $n$ genap }\\ -\frac{n+1}{2}&\text{ jika $n$ ganjil }\end{cases} \]

Mudah diperiksa bahwa pemetaan ini bijektif dan kami menyarankan pembaca untuk mengeceknya.

Berikutnya dengan menggunakan pemetaan {f} ini dan faktorisasi prima dari bilangan asli kita definisikan pemetaan {g:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{Q}^+} sebagai berikut. Pertama definisikan {g(1)=1} dan untuk setiap bilangan asli {m>1}, pertama tuliskan faktorisasi prima {m} ke dalam bentuk {m=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}} dengan {p_i} bilangan prima yang berbeda untuk masing-masing {i=1,\ldots, k} dan {a_i} adalah bilangan asli. Kita definisikan

\displaystyle g(m)=g(p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k})=p_1^{f(a_1)}p_2^{(a_2)}\cdots p_k^{(a_k)}.

Buktinya tidak sulit dan bagus untuk latihan. Anda dapat membandingkan bukti yang anda dapatkan dengan bukti di bawah ini.

Baca Bukti

Kita akan periksa bahwa {g} suatu bijeksi. Misalkan {s=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_m^{a_m}} dan {t=q_1^{b_1}q_2^{b_2}\cdots q_n^{b_n}}. Jika {g(s)=g(t)} maka {p_1^{f(a_1)}p_2^{f(a_2)}\cdots p_m^{f(a_m)}=q_1^{f(b_1)}q_2^{f(b_2)}\cdots q_n^{f(b_n)}}. Berdasarkan ketunggalan faktorisasi prima haruslah {m=n} dan semua faktor prima di ruas kiri sama dengan semua faktor prima di ruas kanan. Tanpa mengurangi keumuman kita misalkan {p_i=q_i} untuk setiap {i}. Akibatnya {f(a_i)=f(b_i)} untuk setiap {i}. Karena {f} suatu bijeksi maka {a_i=b_i} untuk setiap {i} dan dari sini kita peroleh bahwa {s=t}. Jadi {g} pemetaan injektif.

Untuk membuktikan bahwa {g} surjektif, ambil sebarang bilangan rasional positif {u/v} dengan {u,v} tidak punya faktor bersama. Tuliskan {u=p_1^{a_1}\cdots p_k^{a_k}} dan {v=p_{k+1}^{a_{k+1}}\cdots p_m^{a_m}}. Perhatikan bahwa

\displaystyle u/v=p_1^{a_1}\cdots p_k^{a_k}p_{k+1}^{-a_{k+1}}\cdots p_m^{-a_m}.

Karena {f} suatu bijeksi ada {c_1,\ldots, c_k,c_{k+1},\ldots, c_m} sehingga {f(c_i)=a_i} untuk {i=1,\ldots, k} dan {f(c_i)=-a_i} untuk {i=k+1,\ldots, m}. Dengan demikian

\displaystyle \frac{u}{v}=p_1^{f(c_1)}\cdots p_k^{f(c_k)}p_{k+1}^{f(c_{k+1})}\cdots p_m^{f(c_m)}=g(p_1^{c_1}\cdots p_k^{c_k}p_{k+1}^{c_{k+1}}\cdots p_m^{c_m}).

dan ini berarti bahwa {g} surjektif.

[collapse]

Rendered by QuickLaTeX.com