Salah satu soal menarik pada soal tutorial kalkulus 2A adalah tentang kekonvergenan deret
Untuk dapat memahami intuisi penyelesaian di atas kita akan melakukan lomba marathon yang pesertanya adalah fungsi-fungsi dan
. Ini merupakan lomba marathon dalam artian kita hanya peduli untuk
yang cukup besar.
Untuk dapat membandingkan, misalnya siapa diantara dan
yang menang kita bisa hitung nilai
. Perhatikan bahwa ini merupakan bentuk tak tentu
yang mengakibatkan kita bisa melakukan aturan L’Hospital. t Perhatikan bahwa setiap kali kita menurunkan pembilang, derajatnya berkurang satu, akan tetapi penyebutnya meskipun diturunkan tetap
seperti semula. Hal ini menunjukkan bahwa pada akhirnya nilai limit di atas adalah nol. Ini berarti untuk
yang cukup besar
lebih cepat dibanding
untuk
yang manapun (meski
misalnya).
Dengan melakukan pendekatan yang sama kita bisa tunjukkan bahwa eventually akan lebih cepat dibanding
meski
nya kecil, misalnya
.
Apa untungnya pengamatan di atas? Dari pengamatan di atas kita tahu bahwa
untuk yang cukup besar. Karena deret
merupakan deret yang divergen (deret harmonik), maka menurut uji banding langsung, demikian pula deret
merupakan deret yang divergen.
Agar buktinya lebih ketat, kita masih berhutang untuk menunjukkan bahwa
untuk yang besar. Pertanyaannya untuk
yang mana? Saya serahkan kepada pembaca untuk membuktikan bahwa ketaksamaan di atas benar untuk
. Perlu di ingat juga bilangan
ini tidak benar-benar penting dalam menentukan kedivergenan deret kita dan boleh kita ganti dengan bilangan lain yang mengakibatkan ketaksamaan 1 benar.