Posted on

Kekonvergenan Suatu Deret

Salah satu soal menarik pada soal tutorial kalkulus 2A adalah tentang kekonvergenan deret

\displaystyle \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{(\ln n)^4}.

Untuk dapat memahami intuisi penyelesaian di atas kita akan melakukan lomba marathon yang pesertanya adalah fungsi-fungsi {e^x,x^k} dan {\ln x}. Ini merupakan lomba marathon dalam artian kita hanya peduli untuk {x} yang cukup besar.

Untuk dapat membandingkan, misalnya siapa diantara {ê^x} dan {x^k} yang menang kita bisa hitung nilai {\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^k}{e^x}}. Perhatikan bahwa ini merupakan bentuk tak tentu {\frac{\infty}{\infty}} yang mengakibatkan kita bisa melakukan aturan L’Hospital. t Perhatikan bahwa setiap kali kita menurunkan pembilang, derajatnya berkurang satu, akan tetapi penyebutnya meskipun diturunkan tetap {e^x} seperti semula. Hal ini menunjukkan bahwa pada akhirnya nilai limit di atas adalah nol. Ini berarti untuk {x} yang cukup besar {e^x} lebih cepat dibanding {x^k} untuk {k} yang manapun (meski {k=10^6} misalnya).

Dengan melakukan pendekatan yang sama kita bisa tunjukkan bahwa {x^k} eventually akan lebih cepat dibanding {\ln x} meski {k} nya kecil, misalnya {0<k<1}.

Apa untungnya pengamatan di atas? Dari pengamatan di atas kita tahu bahwa

\displaystyle n^{1/4} >\ln n \Leftrightarrow n> (\ln n)^4\Leftrightarrow \frac{1}{n}<\frac{1}{(\ln n)^4}

untuk {n} yang cukup besar. Karena deret {\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n}} merupakan deret yang divergen (deret harmonik), maka menurut uji banding langsung, demikian pula deret {\displaystyle \sum_{i=2}^n \frac{1}{(\ln n)^4}} merupakan deret yang divergen.

Agar buktinya lebih ketat, kita masih berhutang untuk menunjukkan bahwa

\displaystyle n^{1/4}-\ln n > 0 \ \ \ \ \ (1)

untuk {n} yang besar. Pertanyaannya untuk {n} yang mana? Saya serahkan kepada pembaca untuk membuktikan bahwa ketaksamaan di atas benar untuk {n\geq e^{16}}. Perlu di ingat juga bilangan {e^{16}} ini tidak benar-benar penting dalam menentukan kedivergenan deret kita dan boleh kita ganti dengan bilangan lain yang mengakibatkan ketaksamaan 1 benar.