Deret \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{\sin n}{n}

Dalam matakuliah Kalkulus 2 kita mempelajari banyak ragam jenis pengujian kekonvergenan deret. Kita mempunyai uji integral, uji banding langsung, uji banding limit dan uji rasio. Untuk deret yang suku-sukunya tidak selalu positif, kita punya deret ganti tanda dan uji deret kekonvergenan mutlak. Dari beberapa uji-uji deret tersebut, sepengetahuan saya tidak ada yang bisa digunakan untuk memeriksa kekonvergenan deret {\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n}{n}}.

Jika kita lihat sepintas, fungsi {\sin x} periodik dan nilainya berayun diantara {-1} dan {1}. Sifat ini mungkin mengingatkan kita dengan uji deret ganti tanda, tapi sayangnya uji deret ganti tanda tidak bisa digunakan disini karena nilai {\sin n} meskipun nilainya ada yang positif dan ada yang negatif, tapi tidak bergantian positif ke negatif dari satu suku ke suku berikutnya.

Berikut adalah uji Dirichlet yang dapat dipergunakan untuk membuktikan bahwa deret {\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n}{n}} merupakan deret yang konvergen. Uji ini merupakan perumuman dari deret ganti tanda.

Teorema  (Uji Dirichlet) Misalkan {a_n} monoton turun, {\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} a_n=0} dan {\left|\displaystyle\sum_{n=1}^N b_n \right|\leq M} untuk setiap {N}. Maka deret {\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_nb_n } konvergen.

Sebelum kita buktikan, kita akan gunakan uji Dirichlet ini untuk membuktikan bahwa deret {\displaystyle \sum_{n=1}^n \frac{\sin n}{n}} konvergen. Ambil {a_n=\frac{1}{n}} dan {b_n=\sin n}. Jelas bahwa {a_n} monoton turun dan konvergen ke nol. Sekarang perhatikan bahwa

    \begin{align*} 2\sin(1/2)\sum_{n=1}^ N \sin n &=\sum_{n=1}^N 2\sin(1/2)\sin n \\ &=\sum_{n=1}^N \left(\cos(n-\frac12)-\cos(n+\frac12)\right)\\&=\cos(1/2)-\cos(N+\frac12). \end{align*}

Akibatnya

\displaystyle \left|\sum_{n=1}^ N \sin n\right|=\left|\frac{\cos(1/2)-\cos(N+\frac12)}{2\sin(1/2)}\right|\leq \frac{2}{2\sin(1/2)}=\frac{1}{\sin(1/2)}.

Jadi menurut uji Dirichlet kita peroleh bahwa {\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n}{n}} konvergen.

Bukti Uji Dirichlet: Misalkan {B_n:=\sum_{k=1}^n b_k}. Perhatikan bahwa

    \begin{align*} \sum_{n=1}^N B_n(a_n-a_{n+1})&= B_1a_1+\sum_{n=1}^{N-1} B_{n+1}a_{n+1}-\sum_{n=1}^N B_na_{n+1}\\ &=b_1a_1+\left(\sum_{n=1}^{N-1} (B_{n+1}-B_n)a_{n+1}\right) - B_Na_{N+1}\\ &=b_1a_1+\left(\sum_{n=1}^{N-1} b_{n+1}a_{n+1}\right)-B_Na_{N+1}\\ &=\left(\sum_{n=1}^N a_nb_n\right)-B_Na_{N+1}, \end{align*}

yang ekivalen dengan

\displaystyle \sum_{n=1}^N a_nb_n=B_Na_{N+1}+\sum_{n=1}^N B_n(a_n-a_{n+1}).

Karena barisan {\{a_n\}} konvergen ke nol dan {|B_N|\leq M}, maka {B_Na_{N+1}} konvergen ke nol. Sekarang

    \begin{align*} \sum_{n=1}^N |B_n(a_n-a_{n+1})|\leq \sum_{n=1}^N M(a_n-a_{n+1})=Ma_1-Ma_{N+1}\leq Ma_1 \end{align*}

Ini menunjukkan bahwa deret {\sum_{n=1}^\infty B_n(a_n-a_{n+1})} konvergen absolut. Dengan demikian ketika {N\rightarrow \infty} barisan {\sum_{n=1}^N B_n(a_n-a_{n+1})} konvergen dan kita simpulkan bahwa {\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_nb_n} konvergen. \Box