1. Formula Cauchy-Frobenius
Misalkan grup beraksi pada himpunan
. Kita hendak menghitung banyaknya orbit dari aksi ini. Untuk setiap
definisikan
dan untuk setiap
definisikan
.
Untuk menghitung banyaknya orbit dari aksi, pertama kita tinjau himpunan
Kita akan menghitung banyaknya kardinalitas dari . Misalkan unsur-unsur di
adalah
dan unsur-unsur di
adalah
. Definisikan matriks
dengan
Banyaknya angka 1 pada baris ke- adalah banyaknya
sehingga
, yakni
. Sehingga banyaknya total angka 1 yang terdapat pada matriks
adalah
Di lain pihak kita bisa menghitung banyaknya angka 1 pada kolom-demi kolom. Banyaknya angka 1 pada kolom ke-
sama dengan banyaknya
sehingga
, yakni sebesar
. Dengan demikian banyaknya total angka 1 pada matriks
adalah
Karena kedua hal di atas menghitung dua objek yang sama, maka
Bagi kedua ruas dengan kita peroleh
Misalkan adalah orbit-orbit yang mempartisi
. Maka
Dengan demikian
Berikut contoh aplikasi sederhana dari Teorema Cauchy-Frobenius yang dikenal juga sebagai Teorema Frobenius yang menurut beberapa matematikawan merupakan pengatributan yang keliru kepada Burnside.
Example 1 Misalkan kita ingin membuat kalung manik-manik yang terdiri dari 6 butiran manik-manik. Jenis manik-manik yang tersedia ada 2 warna, berwarna hitam dan putih. Kita ingin menghitung banyaknya cara membuat manik-manik seperti itu. Perhatikan bahwa dua kalung manik-manik kita anggap sama jika kita bisa merotasi kalung yang satu untuk mendapatkan konfigurasi manik-manik pada kalung kedua.
Kita tinjau himpunan semua warna kalung sebagai himpunan
dengan
jika manik-manik
berwarna hitam dan
jika manik-manik
berwarna putih. Himpunan semua rotasi pada 6 buah manik-manik bisa kita nyatakan sebagai grup
dengan
adalah putaran
. Perhatikan bahwa
dengan
bisa kita anggap juga sebagai rotasi sebesar
searah jarum jam.
Disini kita melihat bahwa
beraksi pada
dengan rotasi. Misalkan diberikan kalung dengan konfigurasi
maka semua hasil rotasi dari
dianggap sebagai konfigurasi kalung yang sama atau dengan kata lain mereka semua tinggal dalam satu orbit. Pewarnaan kalung yang berbeda menyatakan orbit yang lain. Dengan demikian yang kita cari adalah banyaknya orbit dari aksi
terhadap
.
Kita akan menghitung banyaknya orbit ini dengan menggunakan Teorema Cauchy-Frobenius dengan cara menghitung
untuk
.
- Pertama kita akan menghitung banyaknya unsur di
. Oleh pemetaan
setiap
dipetakan ke dirinya sendiri. Semua konfigurasi kalung yang mungkin merupakan anggota
. Dengan
.
- Oleh
konfigurasi
dibawa ke konfigurasi
. Dengan demikian
jika
kemudian
dan seterusnya sehingga berturut-turut kita memiliki
. Dengan demikian pewarnaan kalung bergantung pada salah satu manik-manik saja, misal
. Banyaknya cara untuk mewarnai
dengan dua warna adalah
cara. Jadi
. Dengan cara yang serupa, karena
adalah rotasi 60 derajat berlawanan arah kita dapatkan pula
.
- Jika
maka konfigurasi
haruslah sama dengan
dengan demikian
dan
. Jadi pewarnaan kalung ditentukan oleh warna
dan
. Ada
cara untuk mewarnai
dan
. Dengan demikian
. Dengan cara yang sama
.
- Oleh
,
di petakan menjadi
. Jadi haruslah
dan
. Pewarnaan kalung ditentukan oleh pewarnaan
, Jadi
.
Sekarang menurut Teorema Cauchy-Frobenius banyaknya pewarnaan kalung adalah
Jadi ada 14 konfigurasi kalung yang mungkin.