Sheaf, Germ and Stalk

DiskusiSheaf, Germ and Stalk
Barra Staff asked 5 years ago

Kemarin Ajat menanyakan contoh mengenai Presheaf dan Sheaf. Setelah sedikit baca-baca dari Hartshorne, berikut yang saya pahami. Kita akan menggunakan satu contoh untuk memahami konsep-konsep di atas sebagai model kita. Tinjau suatu ruang topologi {X}. Untuk setiap himpunan buka {U} di {X} kita asosiasikan suatu struktur {\mathcal{F}(U)} (bisa set, grup, ring etc). Dalam hal ini kita ambil {\mathcal{F}(U)} sebagai grup dari himpunan semua fungsi kontinu pada {U}. Kita punya beberapa beberapa hal dalam situasi ini
0.1. Presheaf

Untuk setiap himpunan bukan {V\supset U} kita mempunyai pemetaan {\mathcal{F}(V)\rightarrow \mathcal{F}(U)} simpli dengan mengambil fungsi {s\in \mathcal{F}(V)} dan merestriksi domainnya ke {U}. Jadi pengaitannya {s\mapsto s_{\mid_V}}. Jika kita punya {W\supset V\supset U}, restriksi {s\in \mathcal{F}(W)} menjadi {s_{\mid_U}} akan sama hasilnya dengan pertama kita restriksi dulu ke {V} kemudian selanjutnya kita restriksi ke U. Dalam step diatas kurang lebih kita memperoleh sebuah presheaf.

0.2. Sheaf

Agar si presheaf ini menjadi sheaf, maka harus ada kekompatibelan dengan data-data lokal:

Kalau {U_i} adalah open cover bagi {U}, kemudian kita punya fungsi {s\in \mathcal{F}(U)} yang setiap restriksinya pada {V_i} adalah nol, i.e., {s_{\mid_{V_i}}=0} maka {s=0}. Kita bisa menggabungkan fungsi-fungsi lokal, menjadi suatu fungsi global: Misalkan {s_i\in \mathcal{F}(V_i)} sehingga pada setiap irisan {V_i\cap V_j} restriksi dari {s_i} dan {s_j} pada irisan ini agree, maka haruslah terdapat objek global {s\in \mathcal{F}(U)} yang restriksinya pada masing-masing {V_i} adalah {s_i}. Jika dua informasi ini dipenuhi, dan ini dipenuhi ketika {\mathcal{F}(U)} adalah grup dari fungsi kontinu pada {U}, maka kita katakan presheaf kita sebagai sheaf.

0.3. Germ of Section dan Stalk

Berikutnya jika {x\in U}, kita juga ingin mengasosiasikan suatu grup {\mathcal{F}_x}. Jika {U,V} adalah suatu neighborhood bagi {x} kemudian {s\in \mathcal{F}(U)} dan {t\in \mathcal{F}(V)} sehingga restriksi {s} dan {t} agree pada suatu neighborhood {x} yang lain, maka secara lokal di {x} kita ingin menganggap bahwa {s=t}. Karena hal ini maka kita perkenalkan isitlah germ.

Dalam kasus kita, misalkan {(s,U)} adalah pasang fungsi kontinu {s} pada himpunan buka {U} yang memuat {x}. Kita definisikan relasi ekivalen {(s,U)\sim (t,V)} jika ada {W} buka dan mengandung {x} sehingga {s_{\mid_W}=t_{\mid_W}}. Kelas ekivalen dari {[(s,U)]} kita sebut sebagai germ of section {s} at {x}. Nah sekarang kandidat yang tepat untuk grup {\mathcal{F}_x} yang kita inginkan adalah koleksi semua kelas ekivalen {[(s,U)]}. Grup {\mathcal{F}_x} kita sebut sebagai stalk dari {\mathcal{F}} di {x}.

0.4. Abstraksi

Secara lebih umum, misalkan {\mathfrak{Top}(X)} sebagai kategori yang objeknya adalah semua himpunan buka dari {X}, kemudian untuk setiap objek {U,V} di {\mathfrak{Top}(X)} kita punya {\text{Mor}(U,V)=\emptyset} jika {U\not\subseteq V} dan {\text{Mor}(U,V)=\{\text{inklusi}\}} jika {U\subseteq V}. Dalah setting ini, presheaf of grup adalah contravariant functor {\mathcal{F}\rightarrow \text{GRP}}. Jika kita ingin presheaf of set, ring, etc tinggal kita gantikan kategori GRP dengan SET, RNG, etc.

Kemudian secara kategori stalk of {F} at {x} adalah direct limit {\underrightarrow{\text{lim}} \mathcal{F(U)}} dengan limit diambil atas semua neighborhood {U} dari {x}.

Untuk membantu imajinasi berikut berturut-turut adalah gambar dari sheaf, stalk dan germ 😀

Sheaf

 

Germ and stalk

 

Stalk