Dalam matakuliah Kalkulus 2 kita mempelajari banyak ragam jenis pengujian kekonvergenan deret. Kita mempunyai uji integral, uji banding langsung, uji banding limit dan uji rasio. Untuk deret yang suku-sukunya tidak selalu positif, kita punya deret ganti tanda dan uji deret kekonvergenan mutlak. Dari beberapa uji-uji deret tersebut, sepengetahuan saya tidak ada yang bisa digunakan untuk memeriksa kekonvergenan deret .
Jika kita lihat sepintas, fungsi periodik dan nilainya berayun diantara
dan
. Sifat ini mungkin mengingatkan kita dengan uji deret ganti tanda, tapi sayangnya uji deret ganti tanda tidak bisa digunakan disini karena nilai
meskipun nilainya ada yang positif dan ada yang negatif, tapi tidak bergantian positif ke negatif dari satu suku ke suku berikutnya.
Berikut adalah uji Dirichlet yang dapat dipergunakan untuk membuktikan bahwa deret merupakan deret yang konvergen. Uji ini merupakan perumuman dari deret ganti tanda.
Teorema (Uji Dirichlet) Misalkan
monoton turun,
dan
untuk setiap
. Maka deret
konvergen.
Sebelum kita buktikan, kita akan gunakan uji Dirichlet ini untuk membuktikan bahwa deret konvergen. Ambil
dan
. Jelas bahwa
monoton turun dan konvergen ke nol. Sekarang perhatikan bahwa
Akibatnya
Jadi menurut uji Dirichlet kita peroleh bahwa konvergen.
Bukti Uji Dirichlet: Misalkan . Perhatikan bahwa
yang ekivalen dengan
Karena barisan konvergen ke nol dan
, maka
konvergen ke nol. Sekarang
Ini menunjukkan bahwa deret konvergen absolut. Dengan demikian ketika
barisan
konvergen dan kita simpulkan bahwa
konvergen.