Perluasan Aljabarik

5. Perluasan Aljabarik

Pada pembahasan sebelumnya kita melihat bahwa ketika {\alpha} aljabarik atas {K} maka semua unsur di {K(\alpha)} juga aljabarik atas {K}. Kita akan memerlukan suatu istilah untuk menangkap konsep ini.

Definition 14 Suatu perluasan {L/K} dikatakan perluasan aljabarik jika semua unsur di {L} merupakan unsur aljabarik atas {K}.

Dengan definisi ini, apa yang kita sampaikan sebelumnya bisa kita nyatakan sebagai berikut.

Proposition 15 Jika {\alpha} aljabarik atas {K} maka {K(\alpha)/K} merupakan perluasan aljabarik.

Seringkali kita akan menggunakan argumen dimensi untuk memperlihatkan bahwa suatu perluasan bersifat aljabarik. Karenanya seringkali kita akan menggunakan definisi alternatif berikut. Kedua definisi ekivalen dikarenakan Teorema 12.

Definition 16 Suatu perluasan {L/K} dikatakan perluasan aljabarik jika untuk setiap {\alpha\in L} berlaku {[K(\alpha):K]<\infty}.

Perhatikan bahwa {\sqrt{2}} dan bilangan rasio emas {\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}} keduanya merupakan bilangan aljabarik atas {\mathbb{Q}} karena yang pertama merupakan akar dari {x^2-2} sedangkan yang kedua adalah akar dari {x^2-x-1}. Apakah {\sqrt{2}+\phi} dan {\sqrt{2}\phi} aljabarik atas {\mathbb{Q}}? Kami berikan petunjuk bahwa keduanya aljabarik dan kami minta pembaca untuk mencari polinom minimalnya pada soal latihan berikut.

Exercise 10 Tentukan polinom minimal atas {\mathbb{Q}} dari {\sqrt{2}+\phi} dan {\sqrt{2}\phi}.

Jika anda mencoba latihan di atas anda akan menyadari bahwa soal latihan tersebut tidaklah mudah. Jika diberikan {\alpha,\beta} aljabarik, tidaklah mudah untuk mencari polinom minimal dari {\alpha+\beta} dan {\alpha\beta}. Akan tetapi teorema 12 berikut membantu kita memahami bahwa unsur-unsur aljabarik tertutup terhadap beberapa operasi.

Theorem 17 Misalkan {L/K} suatu perluasan. Jika {\alpha,\beta \in L} dengan {\alpha\pm \beta, \alpha\cdot \beta} juga aljabarik atas {K}. Hal yang sama juga berlaku untuk {\alpha/\beta} untuk {\beta\neq 0}. Himpunan semua unsur di {L} yang aljabarik atas {K} kita notasikan dengan {L_A}. Himpunan {L_A} membentuk suatu lapangan dan {L\supset L_A\supset K}.

Proof: Perhatikan bahwa {\alpha\pm \beta, \alpha\beta, \alpha/\beta \in K(\alpha,\beta)}. Ini berakibat {K(\alpha\beta)\subseteq K(\alpha,beta)}. Akibatnya dengan menggunakan Proposisi 13 didapat

\displaystyle  [K(\alpha\beta): K]\leq [K(\alpha,\beta)]:K]\leq [K(\alpha):K][K(\beta):K] <\infty

dengan ketaksamaan terakhir terjadi karena {\alpha} dan {\beta} aljabarik atas {K}. Jadi {\alpha\beta} aljabarik. Dengan cara yang serup kita juga bisa tunjukkan bahwa {\alpha\pm \beta} dan {\alpha/\beta} aljabarik. Khususnya operasi penjumlahan dan perkalian di tertutup di {L_A} sehingga {L_A} menjadi subgelanggang dari {R}. Perhatikan juga setiap unsur aljabarik {\beta\neq 0} memiliki invers {1/\beta} yang juga aljabarik (kenapa?). Jadi {L_A} suatu lapangan. \Box

Berikutnya kita mencoba memperumum hasil pada Proposisi 15.

Theorem 18 Misalkan {L/K} suatu perluasan dan {S\subseteq L} sedemikian sehingga setiap unsur di {S} aljabarik atas {K}. Maka {K(S)/K} adalah perluasan aljabarik.

Proof: Kita akan menggunakan deskripsi unsur di {K(S)} yang dituliskan pada Teorema 3. Karena unsur aljabarik tertutup terhadap perkalian dan semua unsur di {S} aljabarik, maka jelas setiap unsur di {W_S} juga aljabarik. Unsur generik di {K(S)} berbentuk {\frac{\sum_{i=1}^m s_iu_i}{\sum_{i=1}^n t_iv_i}}. Masing-masing {s_i,t_i} aljabarik kerena merupakan unsur di {K}. Demikian pula dengan {u_i,v_i} yang merupakan unsur di {W_S}. Karena {\alpha} diperoleh dengan menggunakan operasi penjumlahan, perkalian dan pembagian pada unsur-unsul aljabarik, maka {\alpha} juga aljabarik. \Box

Berikutnya kita akan mencoba melihat kaitan antara perluasan hingga dengan perluasan aljabarik. Terlebih dulu kita buktikan hasil penting berikut.

Theorem 19 {L/K} merupakan perluasan hingga jika dan hanya jika terdapat {\alpha_1,\ldots, \alpha_n} unsur aljabarik atas {K} sehingga {L=K(\alpha_1,\ldots, \alpha_n)}.

Proof: {(\Rightarrow)} Karena {[L:K]<\infty}, kita bisa misalkan {\alpha_1,\ldots, \alpha_n} adalah basis bagi ruang vektor {L/K}. Setiap unsur {\alpha\in L} merupakan kombinasi linier dari {\alpha_1,\ldots,\alpha_n}. Dengan demikian {L\subseteq L(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)}. Inklusi sebaliknya jelas berlaku. Dengan demikian {L=K(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)}. Untuk masing-masing {\alpha_i} himpunan {\{1,\alpha,\ldots, \alpha^n\}} merupakan himpunan yang bergantung linear. Dengan demikian masing-masing {\alpha_i} unsur aljabarik atas {K}.

{(\Leftarrow)} Perhatikan bahwa karena {K\subseteq K(\alpha_1,\ldots, \alpha_i)} dan {\alpha_{i+1}} aljabarik atas {K}, maka minimal polinom dari {\alpha_{i+1}} dapat dianggap sebagai polinom di {K(\alpha_1,\ldots, \alpha_i)[x]}. Dengan demikian {\alpha_{i+1}} aljabarik atas {K(\alpha_1,\ldots, \alpha_i)} dan khususnya kita punyai {[K(\alpha_1,\ldots, \alpha_i)(\alpha_{i+1}):K(\alpha_1,\ldots, \alpha_i)]<\infty} untuk setiap {i}. Untuk mempersingkat notasi kita tuliskan {K(\alpha_1,\ldots, \alpha_i)=F_i} dan {[F_{i+1}:F_i]=[F_i(\alpha_{i+1}):F_i]<\infty}. Jika {L=K(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)} dengan masing-masing {\alpha_j} aljabarik maka

    \begin{align*} [L:K]&=[F_n:K]\\ &=[F_n:F_{n-1}][F_{n-1}:F_{n-2}]\cdots [F_2:F_1][K(\alpha_1):K]\\ &< \infty. \end{align*}

\Box

Corollary 20 Jika {[L:K]<\infty} maka {L/K} adalah perluasan aljabarik.

Proof: Dengan Teorema 19 terdapat {\alpha_1,\ldots,\alpha_n} aljabarik atas {K} sehingga {L=K(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)}. Dengan Teorema 18 ini berakibat {L/K} perluasan aljabarik. \Box

Remark 1 Perlu diperhatikan bahwa arah sebaliknya tidak berlaku. Ada contoh suatu perluasan aljabarik yang merupakan perluasan takhingga.

Untuk memberikan contoh perluasan aljabarik yang takberhingga kita ingatkan pembaca pada Lemma Eisenstein berikut.

Lemma 21 (Eisenstein) Misalkan {P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_1x+a_0\in \mathbb{Z}[x]} dengan sifat: terdapat {p} prima sedemikian sehingga {p} membagi semua {a_i} kecuali untuk {i=n} dan {p^2} tidak membagi {a_0}. Maka {P(X)} taktereduksi di {\mathbb{Q}[x]}.

Example 5 Dengan menggunakan kriteria Eisenstein ini kita dapat melihat bahwa untuk {n\geq 2} kita dapatkan {P_n(x)=x^n-2} merupakan polinom taktereduksi di {\mathbb{Q}[x]} berderajat {n}. Misalkan {\alpha_n} adalah salah satu akar kompleks dari {P_n}. Definisikan {S=\{\alpha_n : n\geq 2\}}. Karena setiap unsur di {S} aljabarik atas {\mathbb{Q}} maka {\mathbb{Q}(S)} merupakan perluasan aljabarik (lihat Teorema 18). Di lain pihak untuk setiap bilangan asli {M} kita peroleh bahwa

\displaystyle  [\mathbb{Q}(S):\mathbb{Q}]\geq [\mathbb{Q}(\alpha_M):\mathbb{Q}]=\deg P_M(x)=M,

maka haruslah {[\mathbb{Q}(S):\mathbb{Q}]=\infty}.

Teori Galois 2 – Perluasan Sebagai Ruang Vektor

4. Struktur Ruang Vektor dari Perluasan

Jika {\alpha} aljabarik atas {K} maka menurut Teorema (5) kita miliki

\displaystyle K(\alpha)=\left\{k_0+k_1\alpha+\cdots k_{n-1}\alpha^{n-1}\mid k_i\in K\right\}.

Himpunan {K(\alpha)} bisa kita tinjau sebagai himpunan semua {K}-kombinasi linear dari {\{1,\alpha,\ldots, \alpha^{n-1}\}}. Hal ini mendorong kita untuk melihat struktur ruang vektor pada perluasan lapangan.

Lebih umum misalkan {L/K} suatu perluasan. Karena {L} lapangan jelas {(L,+)} merupakan grup komutatif. Definisikan perkalian skalar {k\cdot u=ku} untuk setiap {k\in K} dan {u\in L}. Kami serahkan kepada pembaca bahwa dengan pendefinisian ini penjumlahan dan perkalian skalar di {L} memenuhi aksioma-aksioma ruang vektor. Lebih umum kita mempunyai proposisi berikut yang buktinya diserahkan kepada pembaca.

Proposition 6 Misalkan {R} daerah integral yang memuat lapangan {K}. Dengan penjumlahan dan perkalian skalar seperti di atas {R} merupakan ruang vektor atas {K}.

Exercise 7 Bagaiman jika {R} pada proposisi di atas hanya merupakan gelanggang ? Apakah {R} masih tetap merupakan ruang vektor atas {K}?

Proposition 7 Misalkan {\alpha} aljabarik atas {K} dengan derajat {m_\alpha} adalah {n}. Maka {\{1,\alpha,\ldots, \alpha^{n-1}\}} adalah basis bagi ruang vektor {K(\alpha)} atas {K}.

Proof: Menurut deskripsi {K(\alpha)} pada Teorema 5 jelas bahwa {\{1,\alpha,\ldots, \alpha^{n-1}\}} membangun {K}. Sekarang kita tunjukkan bahwa ia bebas linear. Misalkan {t_0+t_1\alpha+\cdots +t_{n-1}\alpha^{n-1}=0}. Jika {t_0,\ldots,t_{n-1}} tidak semuanya nol, maka polinom {f(x)=t_0+t_1x+\cdots+t_{-1}x^{n-1}\in K[x]} merupakan polinom berderajat {\leq n-1} yang memenuhi {f(\alpha)=0}. Ini bertentangan dengan keminimalan {m_\alpha}. Dengan demikian {t_1=t_2=\cdots=t_{n-1}=0} dan {\{1,\alpha,\ldots, \alpha^{n-1}\}} bebas linear. \Box

Definition 8 Misalkan {L} adalah gelanggang yang memuat lapangan {K}. Dimensi dari {L} sebagai ruang vektor atas {K} kita nyatakan sebagai {[L:K]}.

Berdasarkan definisi ini dan Proposisi 7 kita peroleh

Proposition 9 Jika {\alpha} aljabarik atas {K} maka {[K(\alpha):K]=\deg m_\alpha} dengan {\deg m_\alpha} adalah derajat dari minimal polinomial dari {\alpha}.

Definition 10 Misalkan {L/K} adalah suatu perluasan. Jika {[L:K]} berhingga kita katakan {L/K} adalah perluasan hingga dan ketika {[L:K]=\infty} kita katakan {L/K} perluasan takhingga.

Example 3 Kita akan tunjukkan bahwa {\mathbb{R}/\mathbb{Q}} merupakan perluasan takhingga. Misalkan {p_k} adalah bilangan prima ke-{k}. Kita akan tunjukkan bahwa di {\mathbb{R}} sebagai ruang vektor atas {\mathbb{Q}} himpunan {\{\log p_1,\log p_2,\ldots, \log p_k,\ldots\}} merupakan himpunan yang bebas linier. Dengan menunjukkan hal ini kita mendapatkan takberhingga banyaknya unsur yang bebas linear di {\mathbb{Q}}. Dari sini kita simpulkan {[\mathbb{R}:\mathbb{Q}]=\infty}. Jika {q_1,\ldots, q_n\in \mathbb{Q}} memenuhi {q_1\log p_1+\cdots +q_n\log p_n=0} maka dengan mengambil exponential dari masing-masing ruas kita dapatkan {p_1^{q_1}p_2^{q_2}\cdots p_n^{q_n}=1}. Ini mengakibatkan {q_1=q_2=\cdots =q_n=0} dan kita simpulkan {\{\log p_1,\log p_2,\ldots, \log p_k,\ldots\}} bebas linear.

Theorem 11 Misalkan {K\subset L\subset M} adalah suatu perluasan. Maka berlaku {[M:K]=[M:L][L:K]}.

Proof: Perhatikan bahwa {L/K} adalah subruang dari {M/L}. Jika {[L:K]=\infty} maka demikian pula {[M:K]}. Unsur-unsur di {M} yang bebas linear di {M/L} tentu saja bebas linear di {M/K}. Dengan demikian jika {[L:K]} takhingga, demikian pula dengan {[M:K]}.

Berikutnya bisa kita asumsikan bahwa {[M:L]=m} dan {[L:K]=n}. Misalkan {\{x_1,\ldots, x_m\}} adalah basis bagi {M/L} dan {\{y_1,\ldots, y_n\}} basis bagi {L/K}. Jika persamaan yang ingin kita buktikan benar, kita berharap bahwa {[M:K]=mn}. Dari mana kita bisa mendapatkan {mn} unsur basis bagi {M}? Dalam kotak penyimpanan kita kita mempunyai {m} unsur basis bagi {M/L} dan {n} unsur basis bagi {L/K}? Tentunya alamiah kita meninjau himpunan {S=\{x_iy_j \mid i=1\ldots m, j=1,\ldots, n\}} dan berharap {S} merupakan basis bagi {M/K}.

Ambil {m\in M}. Karena {\{x_1,\ldots, x_m\}} basis bagi {M/L} kita bisa tuliskan {m=\sum_{i=1}^m \ell_i x_i} untuk suatu {\ell_i\in L}. Sekarang masing masing {\ell_i} bisa kita tuliskan sebagai {\ell_i=\sum_{j=1}^n k_{ij}y_j} untuk suatu {k_{ij}\in K}. Dengan demikian {m=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n k_{ij} x_iy_j} merupakan kombinasi linier unsur-unsur di {S} atau dengan kata lain {\text{span } S=M}.

Jika {k_{i,j}\in K} sehingga {0=\sum_{i=1}^m\sum_{i=1}^n k_{i,j}x_iy_i=0=\sum_{i=1}^m\left(\sum_{j=1}^n k_{i,j}y_j\right)x_i} maka dengan kebebas linearan {\{x_1,\ldots, x_m\}} kita peroleh {\sum_{j=1}^n k_{i,j}y_j=0} untuk setiap {i=1,\ldots,m}. Kemudian dengan kebebas linearan {\{y_1,\ldots,y_n\}} didapat {k_{i,j}=0} untuk setiap {i} dan {j}. Jadi {S} bebas linear dan merupakan basis dari {M/K}. \Box

Hasil berikutnya merupakan hasil yang cukup penting dimana kita bisa mengenali kapan suatu unsur aljabarik lewat dimensi lapangan perluasannya.

Proposition 12 Unsur {\alpha} aljabarik atas {K} jika dan hanya jika {[K(\alpha):K]<\infty}

Proof: Untuk arah ke kanan jelas dari Proposisi 7. Untuk sebaliknya misalkan {[K(\alpha):K]=n <\infty}. di {K(\alpha)}. Karena dimensi menyatakan banyaknya unsur maksimum yang bisa bebas linier maka haruslah ke {n+1} buah unsur {1,\alpha,\ldots, \alpha^{n+1}} bergantung linear. Jadi terdapat {k_0,\ldots, k_n} yang tidak semuanya nol sehingga {\sum_{i=0}^n k_i\alpha^i=0}. Jadi {\alpha} aljabarik karena merupakan akar dari polinom {f(x)=\sum_{i=0}^n k_ix^n}. \Box

Misalkan {\alpha} aljabarik atas {K} dan misalkan {f(x)\in K[x]} memenuhi {f(\alpha)=0}. Perhatikan bahwa bukan perkara yang mudah untuk melihat bahwa jika {\beta\in K(\alpha)} maka {\beta} juga aljabarik. Jika kita diminta untuk mencari suatu polinom eksplisit {g(x)\in K[x]} yang memenuhi {g(\beta)=0}, kita akan kesulitan karena kita hanya mempunyai informasi {f(x)}. Artinya kita harus menyatakan {g(x)} kita dalam {f(x)}.

Akan tetapi dengan menggunakan Teorema 12, menunjukkan {\beta} juga aljabarik atas {K} adalah hal yang mudah, kita cukup menunjukkan bahwa {[K(\beta):K]<\infty}. Untuk melihat hal tersebut tinjau {\{1,\beta,\ldots, \beta^{n}\}} yang merupakan {n+1} unsur di ruang vektor {K(\alpha)} berdimensi {n}. Akibatnya {\{1,\beta,\ldots, \beta^{n}\}} bergantung linear dan terdapat {k_0,\ldots, k_n\in K} sehingga {\sum_{i=0}^n k_i\beta^i=0}. Kita akan melihat hasil yang lebih umum dari ini pada subbab berikutnya.

Proposition 13 {[K(\alpha,\beta):K]\leq [K(\alpha):K][K(\beta):K]}

Proof: Jika {[K(\alpha):K]=\infty} atau {[K(\beta):K]} merupakan perluasan takhingga maka jelas bahwa {[K(\alpha,\beta):K]} mengingat {K(\alpha)\cup K(\beta)\subseteq K(\alpha,\beta)}.

Untuk selanjutnya kita asumsikan {[K(\alpha):K],[K(\beta):K]<\infty}. Kita akan tunjukkan bahwa {[K(\beta)(\alpha):K(\alpha)]\leq [K(\alpha):K]}. Misalkan {m_\alpha(x)} adalah polinom minimal dari {\alpha} atas {K}. Karena {K\subset K(\beta)} maka polinom {m_\alpha(x)} bisa kita tinjau sebagai polinom monik di {K(\beta)[x]} yang mempunyai akar {\alpha}. Di lain pihak {[K(\beta)(\alpha):K]} adalah derajat terkecil dari polinom di {K(\beta)[x]} yang memiliki {\alpha} sebagai akarnya. Dari keminimalan ini kita peroleh {[K(\beta)(\alpha):K(\beta)]\leq \deg m_\alpha(x)=[K(\alpha):K]}. Akibatnya

\displaystyle  [K(\alpha,\beta):K]=[K(\beta)(\alpha)):K(\beta)][K(\beta):K]\leq [K(\alpha):K][K(\beta):K].

\Box

Hasil yang lebih umum ini juga berlaku dan kita serahkan kepada pembaca.

Exercise 8 Misalkan {S,T} adalah dua lapangan diantara lapangan {K\subset L}. Kita akan membuktikan bahwa

\displaystyle  [K(S\cup T):K]\leq [S:K][T:K]

  1. Tunjukkan bahwa jika salah satu diantara {[S:K]} atau {[T:K]} merupakan perluasan takhingga maka demikian juga dengan {[K(S\cup T):K]}.
  2. Definisikan {R=\left\{\sum_{i=1}^n a_ib_i\,\bigg|\, n\in \mathbb{N}, a_i\in S, b_i\in T\right\}}. Tunjukkan bahwa {R} adalah subring dari {L} yang memuat {S} dan {T}.
  3. Tunjukkan bahwa {R} ruang vektor atas {K} dan {[R:K(T)]\leq [K(S):K]}.
  4. Buktikan bahwa {R} lapangan dan {R=K(S\cup T)}, kemudian buktikan ketaksamaan yang diminta.

Berikutnya kita akan melihat bagaimana analisis dimensi memberikan suatu teknik yang berguna untuk melihat kapan dua perluasan merupakan lapangan yang sama.

Example 4 Pada Latihan 5 kita diminta untuk memeriksa apakah ada diantara {\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3}), \mathbb{Q}(\sqrt{6}), \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})} yang merupakan himpunan yang sama. Dengan analisis dimensi kita akan menunjukkan bahwa {\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})}. Perhatikan jelas bahwa {\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3}) \subseteq \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})}. Dengan cukup kreatifitas sebetulnya kita bisa menunjukkan bahwa {\sqrt{2},\sqrt{3}\in \mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})} sehingga kedua perluasan merupakan himpunan yang sama.

Exercise 9 Fakta-fakta berikut akan kita pergunakan untuk menyelesaikan soal di Contoh 4 akan tetapi sangat baik untuk dijadikan latihan.

Buktikan bahwa

  1. {x^2-2} dan {x^2-3} berturut-turut adalah polinom minimal dari {\sqrt{2}} dan {\sqrt{3}} di {\mathbb{Q}[x]}.
  2. {\sqrt{3}\not \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})}. Tunjukkan bahwa ini berakibat {x^2-3} adalah polinom minimal dari {\sqrt{3}} di {\mathbb{Q}(\sqrt{2})[x]}
  3. Tunjukkan bahwa polinom minimal dari {\sqrt{2}+\sqrt{3}} atas {\mathbb{Q}} berderajat {4}.

Dari Latihan 9 di atas kita peroleh

    \begin{align*} [\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}):\mathbb{Q}]&=[\mathbb{Q}(\sqrt{2})(\sqrt{3}):\mathbb{Q}(\sqrt{2})][\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}]\\ &= \deg (x^2-3)\cdot \deg (x^2-2)\\ &=4\\ &=\deg (\text{ polinom minimal dari } \sqrt{2}+\sqrt{3})\\ &=[\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3}):\mathbb{Q}] \end{align*}

Berarti {\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})\subseteq \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})} keduanya merupakan ruang vektor atas {\mathbb{Q}} yang berdimensi 4. Karena juga ruang vektor yang satu termuat di yang lain, maka haruslah keduanya merupakan ruang vektor yang sama.

Teori Galois 1 – Lapangan Perluasan

1. Akar Polinom

Misalkan {f(x)} merupakan polinom dengan koefisien real. Kita mengetahui bahwa tidak setiap polinom dengan koefisien real mempunyai akar real. Sebagai contoh {f(x)=x^2+1} tidak mempunyai akar real karena untuk setiap {r\in \mathbb{R}} berlaku {f(r)=r^2+1\geq 1>0}. Dilain pihak kita mengetahui bahwa {f(x)=x^2+1} memiliki akar kompleks {\pm i}. Faktanya menurut Teorema Dasar Aljabar setiap polinom dengan koefisien real berderajat {n} memiliki {n} buah akar kompleks (dihitung beserta multiplistitasnya).

Dengan kata lain kita membuat persamaan {x^2+1=0} menjadi memiliki solusi dengan mengizinkan {x} merupakan unsur dari lapangan yang lebih luas {\mathbb{C}}. Perhatikan bahwa jika {K} adalah lapangan lain yang mengandung {\mathbb{R}} dan memuat {\pm i} (akar dari {x^2+1}), maka {K} memuat semua ekspresi {a+ib} untuk setiap {a,b\in \mathbb{R}}. Ini berarti bahwa {K} juga memuat {\mathbb{C}}. Di sini kita bisa melihat bahwa {\mathbb{C}} adalah lapangan terkecil yang memuat {\mathbb{R}} dan sekaligus membuat persamaan {x^2+1=0} mempunyai solusi.

2. Lapangan Perluasan

Misalkan {K} suatu lapangan. Jika {L} merupakan lapangan dan {L\supset K}, kita katakan bahwa {L} merupakan lapangan perluasan dari {K}. Untuk selanjutnya ketika konteksnya jelas kita akan mengatakan bahwa {L} adalah perluasan dari {K} dan secara singkat bisa kita ungkapkan dengan mengatakan {L/K} adalah suatu perluasan. Perhatikan bahwa {\mathbb{C}} merupakan perluasan dari {\mathbb{R}} yang mengandung {\pm i} (akar-akar dari {x^2+1}). Jika {F/\mathbb{R}} adalah lapangan perluasan yang juga memuat {\pm i}, maka dari sifat lapangan {F} memuat semua unsur berbentuk {a+bi} dengan {a,b\in \mathbb{R}}. Dengan kata lain {F} memuat {\mathbb{C}}. Dengan demikian kita bisa melihat {\mathbb{C}} sebagai perluasan terkecil dari {\mathbb{R}} yang memuat {\pm i}.

Definition 1 Misalkan {L/K} suatu perluasan dan {S\subseteq L}. Himpunan {K(S)} didefinisikan sebagai perluasan terkecil dari {K} yang memuat {S}.

Tentunya kita bertanya-tanya apakah {K(S)} selalu ada? Perhatikan koleksi {\mathcal{F}} dari perluasan {F/K} yang memuat {S}, yakni {\mathcal{F}=\{F : F/K \text{ perluasan dan } F\supseteq S\} }. Koleksi ini tidak hampa karena {L\in \mathcal{F}}. Tinjau himpunan {\bigcap _{F\in \mathcal{F}} F}. Sebagai latihan pembaca disarankan untuk mengerjakan latihan berikut yang menunjukkan eksistensi dari {K(S)}.

Exercise 1 Tunjukkan bahwa {\bigcap _{F\in \mathcal{F}} F =K(S)} dengan menunjukkan bahwa {\bigcap _{F\in \mathcal{F}} F} merupakan lapangan perluasan dari {K} terkecil yang memuat {S}.

Menurut pendefinisian {K(S)}, himpunan {S} selalu diasumsikan termuat di suatu perluasan {L/K}. Akan tetapi berikutnya kita mungkin tidak akan secara eksplisit menyebutkan lapangan {L} yang memuat {S}. Kita katakan bahwa {K(S)} adalah perluasan yang diperoleh dengan menempelkan {S} ke {K}.

Exercise 2 Buktikan bahwa {K(S \cup T)=K(S)(T).}

Untuk memperjelas soal latihan di atas, notasi {K(S\cup T)} menyatakan perluasan dari {K} dengan menempelkan {S\cup T} sedangkan {K(S)(T)} berarti kita pertam menempelkan {S} pada {K} untuk mendapatkan {K(S)} kemudian kita lanjutkan dengan menempelkan {T} ke {K(S)} untuk mendapatkan {K(S)(T)}.

Berikutnya kita ingin mendapatkan pemahaman yang lebih dalam mengenai {K(S)} kita ingin mengenali bagaimana bentuk unsur-unsur di {K(S)}. Pertama kita definisikan himpunan {W_S} sebagai himpunan yang unsur-unsurnya adalah himpunan semua kata berhingga yang huruf-hurufnya berasal dari {S}. Dengan definisi kita anggap {1} sebagai perkalian dari nol buah unsur di {S} sehingga dengan kesepakatan ini {1} merupakan unsur di {W_S}. Sebagai contoh jika {S=\{\alpha, \beta\}} maka {\alpha\alpha \beta \alpha=\alpha^2\beta\alpha} dan {\beta\alpha \beta\beta \beta=\beta\alpha\beta^3} adalah beberapa contoh unsur-unsur di {W_S}. Kemudian definisikan

\displaystyle R_S=\left\{\sum_{i=1}^n k_iw_i \,\bigg |\, n \text{ suatu bilangan asli }, k_i\in K, w_i\in W_S\right\}.

Berdasarkan definisi dari {R_S}, jelas {R_S} tertutup terhadap operasi penjumlahan. Untuk operasi perkalian pertama perhatikan bahwa jika {u,v\in W_S} maka {uv} juga merupakan suatu kata di {W_S}. Dengan sifat distributi bisa kita tunjukkan bahwa untuk setiap {\sum_{i=1}^m s_iu_i, \sum_{i=1}^n t_iv_i\in R_S} kita peroleh perkalian keduanya juga di {R_S}. Dengan kata lain {R_S} tertutup terhadap operasi perkalian. Ini menunjukkan bahwa {R_S} suatu subring dari {L}. Karena {L} lapangan maka {R_S} suatu daerah integral.

Sebelum kita lanjutkan kita akan mengingatkan pembaca akan fakta berikut.

Theorem 2 Misalkan {D} suatu daerah integral. Maka

\displaystyle  T(D):=\{a/b \,|\, a,b\in D, b\neq 0\}

adalah suatu lapangan dan merupakan lapangan terkecil yang memuat {D}. Lapangan {T(D)} disebut sebagai field of fraction dari {D}.

{T(D)} merupakan himpunan kelas ekivalen dengan {\frac{a}{b}=\frac{c}{d}} jika dan hanya jika {ad=bc}. Penjumlahan dan perkalian di {T(D)} didefinisikan melalui

    \begin{align*} \frac{a}{b}+\frac{c}{d}&:=\frac{ad+bc}{bd}\\  \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}&:=\frac{ac}{bd}. \end{align*}

Exercise 3 Tunjukkan bahwa unsur di {T(R_S)} berbentuk

\displaystyle  \frac{\sum_{i=1}^m s_iu_i}{\sum_{i=1}^n t_iv_i}

dengan {m,n\in \mathbb{N}, s_i,t_i\in K} dan {u_i,v_i\in W_S} ({t_i} tidak semuanya nol).

Dari daerah integral {R_S} kita memperoleh lapangan {T(R_S)}. Kita ingin membandingkan antara lapangan {T(R_S)} dan {K(S)}. Perhatikan karena {1\in W_s} maka {k\cdot 1\in R_S} untuk setiap {k\in K}. Ini menunjukkan bahwa juga {T(R_S)/K} merupakan lapangan perluasan. Dari definisi {R_S} jelas bahwa {S} termuat di {T(R_S)}. Karena keminimalan {K(S)} maka kita simpulkan {K(S)\subseteq T(R_S)}. Sebaliknya dari definisi {W_S} jelas bahwa {W_S\subseteq K(S)}. Akibatnya {R_S\subseteq K(S)}. Berdasarkan keminimalan {T(R_S)} maka {T(R_S)\subseteq K(S)}.

Dari apa yang kita lakukan di atas kita simpulkan sebagai berikut.

Theorem 3

    \[K(S)=T(R_S)=\left\{\frac{\sum_{i=1}^m s_iu_i}{\sum_{i=1}^n t_iv_i} \,\bigg |\, \sum_{i=1}^m s_iu_i, \sum_{i=1}^n t_iv_i \in R_s \exists i \ni t_i\neq 0\right\}.\]

Ketika {S} suatu singleton {S=\{\alpha\}}, {K(S)} kita tuliskan sebagai {K(\alpha)} dan kita sebut sebagai perluasan dari {K} yang diperoleh dengan menempelkan {\alpha}. Dalam kasus ini {W_S=W_\alpha =\{1,\alpha, \alpha^2,\ldots \}}. Kemudian berturut-turut

\displaystyle R_\alpha =\{k_0+k_1\alpha+k_2\alpha^2+\cdots +k_n\alpha^n\,|\, n\in \mathbb{N}, k_i\in K\}

dan

    \begin{align*} K(\alpha)&=\left\{\frac{k_o+k_1\alpha+\cdots +k_n\alpha^n}{t_o+t_1\alpha+\ldots+t_m\alpha^m} \,\bigg|\, k_i,t_i\in K, \text{ penyebut taknol }\right\} \\ &=\left\{\frac{f(\alpha)}{g(\alpha)}\,\bigg |\, f(x),g(x)\in K[x] \text{ dengan } f(x)\neq 0\right\}  . \end{align*}

Example 1 Unsur di {\mathbb{Q}(\pi)} berbentuk pecahan {\displaystyle\frac{f(\pi)}{g(\pi)}} dengan {f(x),g(x)} polinom dengan koefisen rasional dan {g(x)\neq 0}.

Example 2 Tinjau {\mathbb{Q}(\alpha)} dengan {\alpha=\sqrt{2}}. Perhatikan bahwa {\alpha^2=2} dan akibatnya {\alpha^{2k}=2^k\in \mathbb{Q}}, yakni {\alpha^i\in \mathbb{Q}} untuk {i} genap. Dengan menggunakan informasi ini untuk {k_i\in\mathbb{Q}} kita peroleh

\displaystyle k_o+k_1\alpha+\cdots +k_n\alpha^n=\left(\sum_{i \text{ genap }} k_i\alpha^i\right) +\left(\sum_{i \text{ ganjil}} k_i\alpha^{i-1}\right) \alpha=a+b\alpha

untuk suatu {a,b\in \mathbb{Q}}. Dengan demikian

\displaystyle  \mathbb{Q}(\alpha)=\left\{\frac{a+b\alpha}{c+d\alpha}\,\bigg |\, a,b,c,d\in \mathbb{Q} \text{ dengan } c,d \text{ tidak keduanya nol}\right\}.

Kita bisa menyederhanakan {\mathbb{Q}(\alpha)} lebih lanjut. Perhatikan bahwa

\displaystyle \frac{a+b\alpha}{c+d\alpha}=\frac{a+b\alpha}{c+d\alpha}\cdot \frac{c-d\alpha}{c-d\alpha}=\frac{(ac+dbd)+(ad+bc)\alpha}{c^2-2d^2}.

Karena {c^2-d^2\in \mathbb{Q}} maka {\frac{(ac+dbd)+(ad+bc)\alpha}{c^2-2d^2}} dapat dituliskan ke dalam bentuk {p+q\alpha} dengan {p,q} rasional. Jadi kita dapatkan deskripsi paling sederhana dari {\mathbb{Q}(\alpha)} yakni

\displaystyle  \mathbb{Q}(\sqrt{2})=\{p+q\sqrt{2}\mid p,q\in \mathbb{Q}\}.

Exercise 4 Nyatkan bentuk paling sederhana dari unsur-unsur di {\mathbb{Q}(\beta)} dengan {\beta=\sqrt{2-\sqrt{3}}}.

Exercise 5 Urutkan ketiga perluasan {\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3}), \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})} dan {\mathbb{Q}(\sqrt{6})} dari yang terkecil sampai yang terbesar. Apakah diantara ketiganya ada yang merupakan himpunan yang sama?

3. Unsur Aljabarik

Definition 4 Misalkan {L/K} suatu perluasan. Unsur {\alpha\in L} dikatakan aljabarik atas {K} jika terdapat polinom {f(x)\in K[x]} sehingga {f(\alpha)=0}. Unsur yang tidak aljabarik dikatakan transenden.

Unsur-unsur di {K} tentunya aljabarik atas {K} karena untuk setiap {\alpha\in K} polinom {f(x)=x-k\in K[x]} memenuhi {f(\alpha)=0}. Unsur-unsur berikut merupakan beberapa contoh unsur aljabarik atas {\mathbb{Q}}: {\sqrt{2}, \sqrt{2-\sqrt{3}}, \sqrt{2}+\sqrt{3}}. Telah dibuktikan oleh Hermite (1834) bahwa {\pi} dan {e} keduanya transenden atas {\mathbb{Q}}. Akan tetapi masih merupakan masalah terbukan tentang apakah {\pi+e} merupakan unsur aljabarik atau transenden atas {\mathbb{Q}}.

Dalam subbab ini kita akan menunjukkan, seperti halnya yang kita lihat di contoh pada {\mathbb{Q}(\sqrt{2})}, bahwa ketika {\alpha } aljabarik atas {K} maka {K(\alpha)} mempunyai deskripsi sederhana. Untuk menunjukkan hal tersebut kita memerlukan beberapa persiapan yang kita jadikan sebagai soal latihan.

Exercise 6 Misalkan {L/K} suatu perluasan dan {\alpha\in L} aljabarik atas {K}.

  1. Tunjukkan bahwa himpunan {I:=\{f(x)\in K[x]\mid f(\alpha)=0 \}} merupakan suatu ideal.
  2. Tunjukkan bahwa {I} ideal utama yang dibangun oleh suatu polinom monik tunggal {m_{\alpha}(x)} yang taktereduksi atas {K}. Polinom {m_\alpha(x)} kita sebut sebagai polinom minimal dari {\alpha} atas {K}.
  3. Untuk setiap {g(x)\neq 0 \in K[x]} tunjukkan bahwa terdapat {h(x),p(x)\in K[x]} sehingga {g(x)h(x)+m_\alpha(x)p(x)=1}.

Dari subbab berikutnya kita ingat bahwa

\displaystyle  K(\alpha)=\{f(\alpha)/g(\alpha) \mid f(x),g(x)\in K[x] \text{ dengan } g(x)\neq 0\}.

Karena {g(x)h(x)+m_{\alpha}(x)p(x)=1} maka {g(\alpha)h(\alpha)=1}. Ini menunjukkan jika {g(x)} tidak nol maka {g(\alpha)} memiliki invers berbentuk {h(\alpha)} untuk suatu polinom {h(x)}.

Dengan demikian tipikal unsur di {K(\alpha)} berbentuk

\displaystyle  \frac{f(\alpha)}{g(\alpha)}=\frac{f(\alpha)h(\alpha)}{1}.

Dengan algoritma Euclide pada {K[x]} terhadap {f(x)h(x)} dan {m_\alpha(x)}, kita bisa tuliskan {f(x)h(x)=q(x)m_\alpha(x)+r(x)} dengan {r(x)=0} atau derajat {r(x)} kurang dari derajat {m_\alpha(x)}. Substitusikan {\alpha} ke persamaan diperoleh {f(\alpha)h(\alpha)=r(\alpha)}. Hasil ini menunjukkan bahwa tipikal unsur di {K(\alpha)} berbentuk {r(\alpha)} dengan {r(x)\in K[x]} berderajat kurang dari derajat {m_\alpha(x)}. Kita simpan hasil ini dalam teorema berikut.

Theorem 5 Misalkan {\alpha} aljabarik atas {K} dan misalkan minimal polinomialnya berderajat {n}. Maka

\displaystyle  K(\alpha)=\left\{k_0+k_1\alpha+\cdots k_{n-1}\alpha^{n-1}\mid k_i\in K\right\}.