5. Perluasan Aljabarik
Pada pembahasan sebelumnya kita melihat bahwa ketika aljabarik atas
maka semua unsur di
juga aljabarik atas
. Kita akan memerlukan suatu istilah untuk menangkap konsep ini.
Definition 14 Suatu perluasan
dikatakan perluasan aljabarik jika semua unsur di
merupakan unsur aljabarik atas
.
Dengan definisi ini, apa yang kita sampaikan sebelumnya bisa kita nyatakan sebagai berikut.
Proposition 15 Jika
aljabarik atas
maka
merupakan perluasan aljabarik.
Seringkali kita akan menggunakan argumen dimensi untuk memperlihatkan bahwa suatu perluasan bersifat aljabarik. Karenanya seringkali kita akan menggunakan definisi alternatif berikut. Kedua definisi ekivalen dikarenakan Teorema 12.
Definition 16 Suatu perluasan
dikatakan perluasan aljabarik jika untuk setiap
berlaku
.
Perhatikan bahwa dan bilangan rasio emas
keduanya merupakan bilangan aljabarik atas
karena yang pertama merupakan akar dari
sedangkan yang kedua adalah akar dari
. Apakah
dan
aljabarik atas
? Kami berikan petunjuk bahwa keduanya aljabarik dan kami minta pembaca untuk mencari polinom minimalnya pada soal latihan berikut.
Exercise 10 Tentukan polinom minimal atas
dari
dan
.
Jika anda mencoba latihan di atas anda akan menyadari bahwa soal latihan tersebut tidaklah mudah. Jika diberikan aljabarik, tidaklah mudah untuk mencari polinom minimal dari
dan
. Akan tetapi teorema 12 berikut membantu kita memahami bahwa unsur-unsur aljabarik tertutup terhadap beberapa operasi.
Theorem 17 Misalkan
suatu perluasan. Jika
dengan
juga aljabarik atas
. Hal yang sama juga berlaku untuk
untuk
. Himpunan semua unsur di
yang aljabarik atas
kita notasikan dengan
. Himpunan
membentuk suatu lapangan dan
.
Proof: Perhatikan bahwa . Ini berakibat
. Akibatnya dengan menggunakan Proposisi 13 didapat
dengan ketaksamaan terakhir terjadi karena dan
aljabarik atas
. Jadi
aljabarik. Dengan cara yang serup kita juga bisa tunjukkan bahwa
dan
aljabarik. Khususnya operasi penjumlahan dan perkalian di tertutup di
sehingga
menjadi subgelanggang dari
. Perhatikan juga setiap unsur aljabarik
memiliki invers
yang juga aljabarik (kenapa?). Jadi
suatu lapangan.
Berikutnya kita mencoba memperumum hasil pada Proposisi 15.
Theorem 18 Misalkan
suatu perluasan dan
sedemikian sehingga setiap unsur di
aljabarik atas
. Maka
adalah perluasan aljabarik.
Proof: Kita akan menggunakan deskripsi unsur di yang dituliskan pada Teorema 3. Karena unsur aljabarik tertutup terhadap perkalian dan semua unsur di
aljabarik, maka jelas setiap unsur di
juga aljabarik. Unsur generik di
berbentuk
. Masing-masing
aljabarik kerena merupakan unsur di
. Demikian pula dengan
yang merupakan unsur di
. Karena
diperoleh dengan menggunakan operasi penjumlahan, perkalian dan pembagian pada unsur-unsul aljabarik, maka
juga aljabarik.
Berikutnya kita akan mencoba melihat kaitan antara perluasan hingga dengan perluasan aljabarik. Terlebih dulu kita buktikan hasil penting berikut.
Theorem 19
merupakan perluasan hingga jika dan hanya jika terdapat
unsur aljabarik atas
sehingga
.
Proof: Karena
, kita bisa misalkan
adalah basis bagi ruang vektor
. Setiap unsur
merupakan kombinasi linier dari
. Dengan demikian
. Inklusi sebaliknya jelas berlaku. Dengan demikian
. Untuk masing-masing
himpunan
merupakan himpunan yang bergantung linear. Dengan demikian masing-masing
unsur aljabarik atas
.
Perhatikan bahwa karena
dan
aljabarik atas
, maka minimal polinom dari
dapat dianggap sebagai polinom di
. Dengan demikian
aljabarik atas
dan khususnya kita punyai
untuk setiap
. Untuk mempersingkat notasi kita tuliskan
dan
. Jika
dengan masing-masing
aljabarik maka
Corollary 20 Jika
maka
adalah perluasan aljabarik.
Proof: Dengan Teorema 19 terdapat aljabarik atas
sehingga
. Dengan Teorema 18 ini berakibat
perluasan aljabarik.
Remark 1 Perlu diperhatikan bahwa arah sebaliknya tidak berlaku. Ada contoh suatu perluasan aljabarik yang merupakan perluasan takhingga.
Untuk memberikan contoh perluasan aljabarik yang takberhingga kita ingatkan pembaca pada Lemma Eisenstein berikut.
Lemma 21 (Eisenstein) Misalkan
dengan sifat: terdapat
prima sedemikian sehingga
membagi semua
kecuali untuk
dan
tidak membagi
. Maka
taktereduksi di
.
Example 5 Dengan menggunakan kriteria Eisenstein ini kita dapat melihat bahwa untuk
kita dapatkan
merupakan polinom taktereduksi di
berderajat
. Misalkan
adalah salah satu akar kompleks dari
. Definisikan
. Karena setiap unsur di
aljabarik atas
maka
merupakan perluasan aljabarik (lihat Teorema 18). Di lain pihak untuk setiap bilangan asli
kita peroleh bahwa
maka haruslah
.