Pecahan berbentuk dengan
bilangan asli kita sebut sebagai pecahan satuan. Apakah penjumlahan sejumlah pecahan satuan yang pertama dapat menghasilkan bilangan bulat? Dengan kata lain, adakah bilangan asli
sehingga
merupakan bilangan bulat?
Ternyata hasilnya negatif, seperti tertulis dalam teorma berikut.
Teorema 1 Untuk setiap bilangan asli
bilangan
tidak pernah merupakan bilangan bulat.
Proof: Andaikan merupakan bilangan bulat untuk suatu bilangan asli
. Misalkan
adalah bilangan asli sehingga
(mengapa ada
yang demikian?). Kalikan
dengan
untuk mendapatkan
Pindah ruaskan dan
, didapat
Masing-masing suku disebelah kanan merupakan bilangan rasional dalam bentuk yang paling sederhana dengan penyebut ganjil. Ketika mereka semua kita jumlahkan dan sederhanakan maka tetap diperoleh suatu bilangan rasional dengan
ganjil. Akibatnya tidak mungkin
(kontradiksi!).
Pertanyaan berikutnya adalah bagaimana kalau kita tidak mensyaratkan pecahan satuannya harus berurutan? Apakah bisa kita menyatakan suatu bilangan bulat sebagai jumlahan pecahan-pecahan satuan yang berbeda?
Definisi 2 Suatu bilangan rasional disebut pecahan Mesir jika ia dapat dinyatakan sebagai jumlahan pecahan-pecahan satuan yang berbeda.
Ternyata dapat dibuktikan bahwa tidak hanya ada bilangan bulat yang merupakan pecahan Mesir, tapi lebih kuat dari itu, setiap bilangan rasional positif merupakan pecahan Mesir. Untuk membuktikannya pertama kita perlukan lema berikut.
Lema 3 Misalkan
bilangan rasional dengan
untuk suatu bilangan asli
. Maka
merupakan pecahan Mesir.
Proof: Perhatikan bahwa
Karena , maka
. Tulis
dan
, maka
dengan
. Jika
, maka
dan kita selesai. Jika
, maka terdapat bilangan asli
(mengapa?) sehingga
. Dengan cara serupa kita dapatkan
dengan
. Jika kita lakukan terus menerus maka akan diperoleh barisan bilangan asli yang turun
yang tentunya pada suatu saat kita peroleh
. Ketika hal ini terjadi maka kita peroleh
Jadi merupakan pecahan mesir.
Sekarang kita siap membuktikan hasil utama kita.
Teorema 4 Setiap bilangan rasional positif merupakan pecahan Mesir.
Proof: Ambil sebarang bilangan rasional positif . Ingat bahwa deret harmonik
merupakan deret yang divergen. Jika
, maka terdapat suatu
sehingga
. Akibatnya
dan tentunya terdapat
asli sehingga
. Dengan menggunakan lema di atas, kita peroleh
dengan . Dengan demikian
merupakan pecahan Mesir.