Deret Harmonik dan Pecahan Mesir

Pecahan berbentuk {\dfrac{1}{n}} dengan {n} bilangan asli kita sebut sebagai pecahan satuan. Apakah penjumlahan sejumlah pecahan satuan yang pertama dapat menghasilkan bilangan bulat? Dengan kata lain, adakah bilangan asli {N} sehingga

\displaystyle H_N:=\frac11+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots +\frac{1}{N-1}+\frac{1}{N}

merupakan bilangan bulat?

Ternyata hasilnya negatif, seperti tertulis dalam teorma berikut.

Teorema 1 Untuk setiap bilangan asli {N} bilangan {H_N} tidak pernah merupakan bilangan bulat.

Proof: Andaikan {H_N} merupakan bilangan bulat untuk suatu bilangan asli {N}. Misalkan {k} adalah bilangan asli sehingga {2^k\leq N<2^{k+1}} (mengapa ada {k} yang demikian?). Kalikan {H_N} dengan {2^{k-1}} untuk mendapatkan

    \begin{align*} 2^{k-1}H_N&= 2^{k-1}\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{2^k-1}+\frac{1}{2^k}+\frac{1}{2^k+1}+\cdots +\frac{1}{N}\right)\\ &=\frac{2^{k-1}}{1}+\frac{2^{k-2}}{1}+\frac{2^{k-1}}{3}+\cdots + \frac{2^{k-1}}{2^k-1}+\frac{1}{2}+\frac{2^{k-1}}{2^k+1}+\cdots +\frac{2^{k-1}}{N}. \end{align*}

Pindah ruaskan {2^{k-1}H_N} dan {\frac{1}{2}}, didapat

\displaystyle -\frac12=-\frac{2^{k-1}H_N}{1}+\left(\frac{2^{k-1}}{1}+\frac{2^{k-2}}{1}+\frac{2^{k-1}}{3}+\cdots + \frac{2^{k-1}}{2^k-1}\right)+\left(\frac{2^{k-1}}{2^k+1}+\cdots +\frac{2^{k-1}}{N}\right)

Masing-masing suku disebelah kanan merupakan bilangan rasional dalam bentuk yang paling sederhana dengan penyebut ganjil. Ketika mereka semua kita jumlahkan dan sederhanakan maka tetap diperoleh suatu bilangan rasional {\frac pq} dengan {q} ganjil. Akibatnya tidak mungkin {\frac{p}{q}=-\frac{1}{2}} (kontradiksi!). \Box

Pertanyaan berikutnya adalah bagaimana kalau kita tidak mensyaratkan pecahan satuannya harus berurutan? Apakah bisa kita menyatakan suatu bilangan bulat sebagai jumlahan pecahan-pecahan satuan yang berbeda?

Definisi 2 Suatu bilangan rasional disebut pecahan Mesir jika ia dapat dinyatakan sebagai jumlahan pecahan-pecahan satuan yang berbeda.

Ternyata dapat dibuktikan bahwa tidak hanya ada bilangan bulat yang merupakan pecahan Mesir, tapi lebih kuat dari itu, setiap bilangan rasional positif merupakan pecahan Mesir. Untuk membuktikannya pertama kita perlukan lema berikut.

Lema 3 Misalkan {\frac{p}{q}} bilangan rasional dengan {\frac{1}{s}\leq \frac{p}{q}< \frac{1}{s-1}} untuk suatu bilangan asli {s}. Maka {\frac{p}{q}} merupakan pecahan Mesir.

Proof: Perhatikan bahwa

\displaystyle \frac{p}{q}-\frac{1}{s}=\frac{ps-q}{qs}

Karena {\frac{p}{q}<\frac{1}{s-1}}, maka {p(s-1)<q\Leftrightarrow ps-q<p}. Tulis {p_1=p(s-1)} dan {q_1=qs}, maka {\frac{p}{q}-\frac{1}{s}=\frac{p_1}{q_1}} dengan {p_1<p}. Jika {p_1=0}, maka {\frac{p}{q}=\frac{1}{s}} dan kita selesai. Jika {p_1>0}, maka terdapat bilangan asli {s_1 >s} (mengapa?) sehingga {\frac{1}{s_1}<\frac{p_1}{q_1}<\frac{1}{s_1-1}}. Dengan cara serupa kita dapatkan {\frac{p_1}{q_1}-\frac{1}{s_1}=\frac{p_2}{q_2}} dengan {p>p_1>p_2}. Jika kita lakukan terus menerus maka akan diperoleh barisan bilangan asli yang turun {p>p_1>p_2>\ldots} yang tentunya pada suatu saat kita peroleh {p_{n+1}=0}. Ketika hal ini terjadi maka kita peroleh

\displaystyle \frac{p}{q}-\frac{1}{s}-\frac{1}{s_1}-\cdots -\frac{1}{s_{n}}=\frac{p_{n+1}}{q_{n+1}}=0.

Jadi {\frac{p}{q}} merupakan pecahan mesir. \Box

Sekarang kita siap membuktikan hasil utama kita.

Teorema 4 Setiap bilangan rasional positif merupakan pecahan Mesir.

Proof: Ambil sebarang bilangan rasional positif {\frac{u}{v}}. Ingat bahwa deret harmonik {\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}} merupakan deret yang divergen. Jika {\displaystyle H_N=\sum_{n=1}^N \frac{1}{n}}, maka terdapat suatu {m} sehingga {H_m\leq \frac{u}{v}<H_{m+1}=H_m+\frac{1}{m+1}}. Akibatnya {0<\frac{u}{v}-H_m<\frac{1}{m+1}<1} dan tentunya terdapat {s>m+1} asli sehingga {\frac{1}{s}\leq \frac{u}{v}-H_m<\frac{1}{s-1}}. Dengan menggunakan lema di atas, kita peroleh

\displaystyle \frac{u}{v}-H_m=\frac{1}{s}+\frac{1}{s_1}+\cdots +\frac{1}{s_n}

dengan {m+1<s<s_1<\cdots<s_n}. Dengan demikian

\displaystyle \frac{u}{v}=H_m+\frac{1}{s}+\frac{1}{s_1}+\cdots+\frac{1}{s_n}

merupakan pecahan Mesir. \Box

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *