Deret Harmonik yang Konvergen ?

Di kelas telah ditunjukkan bahwa deret harmonik {\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}} merupakan deret yang divergen. Berikut adalah bukti yang sedikit berbeda dengan yang telah ditunjukkan di kelas.

Teorema 1 Deret harmonik divergen.
Bukti: Andakan deret harmonik konvergen, tulis jumlahnya sebagai {S}. Maka

    \begin{align*} S &= 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\cdots \\ &> \left(\frac{1}{2}+\frac12\right)+\left(\frac14+\frac14\right)+\left(\frac16+\frac16\right)+\cdots\\ &=S \end{align*}

dan {S>S} tidak mungkin terjadi (kontradiksi!) \Box

Pernyataan berikutnya bisakah kita membuang beberapa suku dari deret harmonik sehingga dihasilkan deret yang konvergen? Kita mengetahui bahwa jawabannya bisa, karena kita mengetahui bahwa deret {\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}} merupakan deret yang konvergen. Bisakah kita melakukannya dengan lebih baik yakni dengan membuang suku-suku dari deret harmonik lebih sedikit?

Berikut akan ditunjukkan bahwa jika kita kita membuang suku-suku {\frac{1}{n}} pada deret harmonik untuk semua {n} yang digit-digitnya mengandung minimal sebuah angka 9, maka deret yang dihasilkan merupakan deret yang konvergen.

Teorema 2 Deret {\displaystyle\sum_{9 \text{ bukan digit }n} \frac{1}{n}} konvergen.
Bukti: Misalkan {a_1=1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{8}, a_2=\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\cdots +\cdots+\frac{1}{88}} dan secara umum {a_m=\frac{1}{10^{m-1}}+\cdots +\frac{1}{\underbrace{8\cdots 88}_m}} adalah jumlah semua bentuk {\frac{1}{n}} dengan {n} bilangan dengan {m} digit yang tidak mengandung angka 9. Perhatikan bahwa jika kita memiliki suatu bilangan dengan {m} digit dan dia tidak mengandung 9, maka untuk digit pertamanya kita punya 8 pilihan, yakni semua digit kecuali 0 atau 9. Sedangkan untuk digit kedua sampai dengan digit ke-{m} kita bisa menggunakan semua digit kecuali digit 9. Dengan demikian pada {a_m} kita menjumlahkan {8\cdot 9^{m-1}} bilangan. Karena suku tekecil di {a_m} adalah {\frac{1}{10^{m-1}}} maka {a_m< 8\cdot \frac{9^{m-1}}{10^{m-1}}}. Akibatnya

\displaystyle \sum_{9 \text{ bukan digit }n} \frac{1}{n}=\sum_{m=1}^\infty a_m<\sum_{m=1}^\infty 8\cdot \left(\frac{9}{10}\right)^{m-1}=80

jelas merupakan deret konvergen. \Box
Berikutnya adalah tantangan buat para pembaca

Problem Jika kita membuang semua suku {\frac{1}{n}} pada deret harmonik untuk semua {n} yang mengandung paling sedikit 2017 buah angka 9 pada digit-digitnya, apakah deret yang dihasilkan akan konvergen?

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *