Kuis 1

Soal
Tentukan semua a,b,c rasional sehingga f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z} yang didefinisikan melalui f(x)=ax^2+bx+c merupakan suatu pemetaan.
Jawaban
Klaim bahwa a,b,c haruslah a,b,c semuanya bulat atau a=\frac{s}{2}, b=\frac{t}{2} dengan s,t bulat ganjil dan c bulat.

Perhatikan bahwa jika a,b,c semuanya bulat jelas bahwa f(x) bulat untuk setiap x bulat.

Untuk kasus kedua, f(x)=\frac{sx^2+tx}{2}+c. Karena s,t ganjil, jika x ganjil maka sx^2 dan tx ganjil akibatnya sx^2+tx genap. Demikian juga jika x genap maka sx^2+tx genap. Pada kedua kasus kita bisa tuliskan sx^2+tx=2k untuk suatu k bulat. Jadi f(x)=\frac{2k}{2}+c=k+c bulat untuk setiap x bulat.

Sekarang akan kita tunjukkan bahwa tidak ada nilai a,b,c lain yang memenuhi selain yang disebutkan di atas.

Misalkan a,b,c bilangan rasional sehingga f(x) bulat. Perhatikan bahwa c=f(0) bulat. Demikian juga f(1)=a+b+c dan f(-1)=a-b+c bulat. Karena c bulat maka a+b dan a-b bulat. Dengan meninjau penjumlahan keduanya dan juga selisih keduanya kita peroleh bahwa 2a dan 2b bulat.

Jika 2a bulat genap, maka a bulat. Karena a+b bulat, ini berakibat b bulat. Jadi dalam kasus ini a,b,c semuanya bulat.

Jika 2a ganjil, maka a=\frac{s}{2} untuk suatu bilangan ganjil s. Karena a+b bulat, tulis a+b=u dengan u bulat. Akibatnya, s+2b=2a+2b=2u. Karena 2u genap dan s ganjil, maka haruslah 2b=t ganjil. Jadi b=\frac{t}{2} untuk suatu bilangan ganjil t. Jadi dalam kasus ini a=\frac{s}{2},b=\frac{t}{2} dengan t ganjil dan c bulat.

Pemikiran di balik layar

Pada soal ini kita diminta untuk mencari kondisi untuk a,b,c agar f merupakan suatu pemetaan. Yang menjadi permasalahan di sini adalah jika a,b,c nya tidak kita pilih dengan baik maka f(x) nya mungkin bukan bilangan bulat. Sebagai contoh jika a=b=0 dan c=\frac{1}{2} maka f(x)=\frac{1}{2} dan akibatnya f bukan suatu pemetaan. Berarti kita harus mencari a,b,c rasional sehingga f(x) bulat untuk semua x bulat.

Kita bisa mencoba-coba kombinasi nilai a,b,c yang mungkin memenuhi, tapi terlalu banyak pilihan bilangan rasional a,b,c. Untuk mencoba membatasi pilihan nilai a,b,c, kita bisa menanyakan kalau f(x) bulat untuk setiap x apa akibatnya terhadap si a,b, c ini?

Misalkan f(x)=ax^2+bx+c bulat untuk setiap x bulat. Kita bisa mencoba memasukkan nilai-nilai x tertentu untuk bisa mengetahui lebih banyak tentang a,b,c. Jika kita masukkan x=0 yang merupakan bilangan bulat, maka kita dapatkan f(0)=c bulat. Dengan demikian mau tidak mau, agar f(x) bulat “paling tidak” nilai c haruslah bulat.

Berturut-turut kita substitusikan x=1 dan x=-1 kita peroleh a+b+c dan a-b+c bulat. Tapi karena kita sudah tahu bahwa c bulat maka haruslah a+b bulat dan a-b bulat. Dengan menjumlahkan dan mengurangkan keduanya, kita juga peroleh bahwa 2a=(a+b)+(a-b) dan 2b=(a+b)-(a-b) bulat.

Bisakah sekarang kita menyimpulkan bahwa jawaban atas persoalan kita adalah semua bilangan rasional a,b,c dengan c,2a,2b bulat?

Belum! Di atas kita hanya menunjukkan bahwa jika f(x) bulat maka haruslah c,2a,2b bulat. Kita belum menunjukkan bahwa jika a,b,c kita adalah bilangan rasional sedemikian sehingga c,2a,2b bulat maka f(x) bulat untuk setiap x. Tapi paling tidak sekarang pilihan kita terbatas. Tadinya kita harus meninjau semua bilangan rasional a,b,c. Sekarang kita cukup meninjau bilangan rasional a,b,c yang membuat 2a,2b,c bulat.

Ok sekarang kita tinjau a rasional sehingga 2a bulat. Jika 2a bilangan bulat genap, maka a bulat. Jika 2a ganjil, maka a=\frac{s}{2} untuk suatu bilangan ganjil s.

Kita tinjau dua kasus

1) a bulat.

Karena a+b bulat, maka haruslah b bulat. Dalam kasus ini a,b,c semuanya bulat.

2) a=\frac{s}{2} dengan s bulat ganjil.

Kita tahu 2b juga bulat. Maka seperti argumen untuk a diatas, kita tahu bahwa b bulat atau b=\frac{t}{2} untuk suatu bilangan bulat ganjil t. Tapi tidak mungkin b bulat, bersama-sama dengan a+b bulat ia mengakibatkan a bulat. Jadi haruslah b=\frac{t}{2}.

[collapse]

 

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *