Pada PR Struktur Aljabar mahasiswa diminta untuk mengkonstruksi suatu bijeksi
.
Mahasiswa diberikan petunjuk bahwa unsur-unsur di
dapat disusun ke dalam piramida bilangan sebagai berikut
![Rendered by QuickLaTeX.com \[{\footnotesize \begin{tabular}{rccccccccc} Baris ke-$1$:\quad\quad& & & & & (1,1)\\\noalign{\smallskip\smallskip} Baris ke-$2$:\quad\quad& & & & (1,2)& & (2,1)\\\noalign{\smallskip\smallskip} Baris ke-$3$:\quad\quad& & & (1,3) & & (2,2) & & (3,1)\\\noalign{\smallskip\smallskip} Baris ke-$4$:\quad\quad& & (1,4) & & (2,3) & & (3,2) & & (4,1)\\\noalign{\smallskip\smallskip} Baris ke-$5$:\quad\quad& (1,5) & & (2,4) & & (3,3) & & (4,2) & & (5,1)\\\noalign{\smallskip\smallskip} \end{tabular} } \]](http://aleamsbarra.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-74853a37fbc52b68291904e9fcee179c_l3.png)
dengan aturan bilangan pada baris ke-
berisi semua pasang bilangan
dengan
.
Kemudian unsur-unsur di piramidia bilangan tersebut dipetakan ke
mulai dari baris yang paling atas dan bergerak dari kiri ke kanan. Sebagai contoh
dan seterusnya. Mahasiswa diminta untuk menebak rumus eksplisit dari aturan tersebut dan kemudian membuktikan bahwa pemetaan tersebut bijektif.
Setelah saya periksa sepintas, semua pekerjaan mahasiswa yang saya lihat menebak formula pemetaan dengan benar, yaitu
. Kita akan buktikan bahwa
suatu bijeksi. Pertama-tama kita buktikan lema berikut.
Lemma
Notasikan
. Untuk setiap
berlaku
. Khususnya
monoton naik.
Bukti.
.
Perhatikan bahwa
dan akan kita tunjukkan bahwa
suatu bijeksi.
Akan kita tunjukkan bahwa
injektif. Misalkan
sedemikian sehingga
. Maka
. Andaika
dan tanpa mengurangi keumuman misalkan
. Karena
monoton naik maka
(menurut Lema). Ini mengakibatkan
yang jelas tidak mungkin karena
. Dengan demikian haruslah
dan akibatnya
. Jadi
dan akibatnya
. Jadi
injektif.
Sekarang kita buktikan bahwa
surjektif. Ambil
. Maka terdapat
sehingga
(mengapa?). Perhatikan bahwa
. Karena
maka ada
sehingga
. Sekarang kita dapatkan
. Jadi
surjektif.
Selain polinom
di atas, jika kita mendaftarkan unsur-unsur di piramida bilangan dengan urutan dari kanan ke kiri maka kita dapatkan polinom
yang juga merupakan suatu bijeksi. Polinom
dan
ini dikenal sebagai polinom Cantor, dan Cantor menggunakannya untuk menunjukkan bahwa
dan
mempunyai kardinalitas yang sama.
Terkait dengan kedua polinom ini Cantor menanyakan apakah ada polinom yang lain yang memberikan bijeksi dari
ke
. Fueter dan Polya di tahun 1923 membuktikan teorema berikut.
Teorema Fueter-Polya
Tidak ada Polinom kuadratik lain selain Polinom Cantor yang merupakan bijeksi dari
.
Fueter dan Polya membuktikan Teorema di atas dengan menggunakan teknik teori bilangan analitis. Pada tahun 2001 Vserminov memberikan bukti elementer dari Teorema Fueter-Polya di atas.
Paling tidak ada dua hal yang bisa kita pelajari dari Teorema ini. Kita lihat bahwa pembuktian bahwa
merupakan fungsi bijektif merupakan sesuatu yang terlalu sulit yang bahkan masih bisa kita berikan sebagai suatu pekerjaan rumah. Akan tetapi jika kita bersikap kritis dan menanyakan pertanyaan yang tepat, persoalan yang biasa-biasa bisa menjadi objek riset matematika. Dalam hal ini menanyakan apakah ada polinom lain yang memenuhi membuka kesempatan untuk melakukan suatu riset matematika.
Pelajaran kedua yang kita ambil adalah meskipun Fueter dan Polya sudah membuktikan Teorema di atas puluhan tahun yang lalu tidak berarti persoalannya selesai. Dalam matematika kita selalu punya kesempatan untuk memberikan bukti baru dari suatu teorema yang sudah terbukti. Kita bisa menawarkan bukti dari perspektif lain, bukti yang lebih singkat, bukti yang lebih elementer, bukti yang lebih elegan dan sebagainya.
Sedikit demi sedikit kita harus belajar menggeser peran. Kita tidak hanya sekadar menjadi penikmat matematika, dengan mencoba memahami pekerjaan orang lain, tapi juga ikut serta menciptakan matematika. Langkah pertamanya adalah dengan mengajukan banyak pertanyaan terhadap apa yang telah dilakukan orang lain dan berusaha menjawabnya.
Pertanyaan berikutnya yang berkaitan dengan Teorema Fueter-Polya yang alamiah adalah
Apakah ada polinom berderajat lebih dari dua yang merupakan bijeksi dari
ke
?
Para matematikawan meyakini bahwa hanya Polinom Cantor saja yang memenuhi, tapi saat ini belum ada yang bisa memberikan bukti dari konjektur tersebut. Mungkin anda berminat untuk membuktikannya?
Latihan berikut adalah jawaban dari pertanyaan apakah kita bisa mempunyai polinom bijektif seperti di atas untuk dimensi yang lebih tinggi.
Latihan
Berikan polinom yang merupakan bijeksi dari
ke
dan polinom yang merupakan bijeksi dari
ke 