Posted on

The Conway’s Way

1. Lagi-lagi Keirasionalan {\sqrt{2}}

Berikut bukti keirasionalan {\sqrt{2}} dari Conway yang sangat ringkas:
Andaikan {\sqrt{2}=\frac{p}{q}} dengan {p,q} bulat dan dalam bentuk yang paling sederhana. Maka {2q^2=p^2}. Tuliskan persamaan ini dalam bentuk

\displaystyle \frac{2q}{p}=\frac{p}{q}.

Untuk bilangan real {x} nyatakan dengan {\{x\}} sebagai bagian {x} yang tidak bulat. Sebagai contoh {\{123,456\}=0,456}, {\{7\frac{1}{3}\}=\frac{1}{3}}. Dari persamaan di atas kita peroleh

\displaystyle \left\{\frac{2q}{p}\right\}=\left\{\frac{p}{q}\right\}

Perhatikan bahwa jika kita memiliki bilangan rasional {x=\frac{a}{b}}, jelas bahwa {\{x\}=\frac{c}{b}} untuk suatu {0\leq c<b}. Dengan demikian dari persamaan di atas kita peroleh

\displaystyle \frac{s}{p}=\frac{t}{q}\Leftrightarrow \frac{s}{t}=\frac{p}{q}

untuk suatu {0\leq s< p} dan {0\leq t<q}. Tapi ini mustahil terjadi karena tadi kita sudah menuliskan {\frac{p}{q}} dalam bentuk yang paling sederhana.