Perluasan Aljabarik

5. Perluasan Aljabarik

Pada pembahasan sebelumnya kita melihat bahwa ketika {\alpha} aljabarik atas {K} maka semua unsur di {K(\alpha)} juga aljabarik atas {K}. Kita akan memerlukan suatu istilah untuk menangkap konsep ini.

Definition 14 Suatu perluasan {L/K} dikatakan perluasan aljabarik jika semua unsur di {L} merupakan unsur aljabarik atas {K}.

Dengan definisi ini, apa yang kita sampaikan sebelumnya bisa kita nyatakan sebagai berikut.

Proposition 15 Jika {\alpha} aljabarik atas {K} maka {K(\alpha)/K} merupakan perluasan aljabarik.

Seringkali kita akan menggunakan argumen dimensi untuk memperlihatkan bahwa suatu perluasan bersifat aljabarik. Karenanya seringkali kita akan menggunakan definisi alternatif berikut. Kedua definisi ekivalen dikarenakan Teorema 12.

Definition 16 Suatu perluasan {L/K} dikatakan perluasan aljabarik jika untuk setiap {\alpha\in L} berlaku {[K(\alpha):K]<\infty}.

Perhatikan bahwa {\sqrt{2}} dan bilangan rasio emas {\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}} keduanya merupakan bilangan aljabarik atas {\mathbb{Q}} karena yang pertama merupakan akar dari {x^2-2} sedangkan yang kedua adalah akar dari {x^2-x-1}. Apakah {\sqrt{2}+\phi} dan {\sqrt{2}\phi} aljabarik atas {\mathbb{Q}}? Kami berikan petunjuk bahwa keduanya aljabarik dan kami minta pembaca untuk mencari polinom minimalnya pada soal latihan berikut.

Exercise 10 Tentukan polinom minimal atas {\mathbb{Q}} dari {\sqrt{2}+\phi} dan {\sqrt{2}\phi}.

Jika anda mencoba latihan di atas anda akan menyadari bahwa soal latihan tersebut tidaklah mudah. Jika diberikan {\alpha,\beta} aljabarik, tidaklah mudah untuk mencari polinom minimal dari {\alpha+\beta} dan {\alpha\beta}. Akan tetapi teorema 12 berikut membantu kita memahami bahwa unsur-unsur aljabarik tertutup terhadap beberapa operasi.

Theorem 17 Misalkan {L/K} suatu perluasan. Jika {\alpha,\beta \in L} dengan {\alpha\pm \beta, \alpha\cdot \beta} juga aljabarik atas {K}. Hal yang sama juga berlaku untuk {\alpha/\beta} untuk {\beta\neq 0}. Himpunan semua unsur di {L} yang aljabarik atas {K} kita notasikan dengan {L_A}. Himpunan {L_A} membentuk suatu lapangan dan {L\supset L_A\supset K}.

Proof: Perhatikan bahwa {\alpha\pm \beta, \alpha\beta, \alpha/\beta \in K(\alpha,\beta)}. Ini berakibat {K(\alpha\beta)\subseteq K(\alpha,beta)}. Akibatnya dengan menggunakan Proposisi 13 didapat

\displaystyle  [K(\alpha\beta): K]\leq [K(\alpha,\beta)]:K]\leq [K(\alpha):K][K(\beta):K] <\infty

dengan ketaksamaan terakhir terjadi karena {\alpha} dan {\beta} aljabarik atas {K}. Jadi {\alpha\beta} aljabarik. Dengan cara yang serup kita juga bisa tunjukkan bahwa {\alpha\pm \beta} dan {\alpha/\beta} aljabarik. Khususnya operasi penjumlahan dan perkalian di tertutup di {L_A} sehingga {L_A} menjadi subgelanggang dari {R}. Perhatikan juga setiap unsur aljabarik {\beta\neq 0} memiliki invers {1/\beta} yang juga aljabarik (kenapa?). Jadi {L_A} suatu lapangan. \Box

Berikutnya kita mencoba memperumum hasil pada Proposisi 15.

Theorem 18 Misalkan {L/K} suatu perluasan dan {S\subseteq L} sedemikian sehingga setiap unsur di {S} aljabarik atas {K}. Maka {K(S)/K} adalah perluasan aljabarik.

Proof: Kita akan menggunakan deskripsi unsur di {K(S)} yang dituliskan pada Teorema 3. Karena unsur aljabarik tertutup terhadap perkalian dan semua unsur di {S} aljabarik, maka jelas setiap unsur di {W_S} juga aljabarik. Unsur generik di {K(S)} berbentuk {\frac{\sum_{i=1}^m s_iu_i}{\sum_{i=1}^n t_iv_i}}. Masing-masing {s_i,t_i} aljabarik kerena merupakan unsur di {K}. Demikian pula dengan {u_i,v_i} yang merupakan unsur di {W_S}. Karena {\alpha} diperoleh dengan menggunakan operasi penjumlahan, perkalian dan pembagian pada unsur-unsul aljabarik, maka {\alpha} juga aljabarik. \Box

Berikutnya kita akan mencoba melihat kaitan antara perluasan hingga dengan perluasan aljabarik. Terlebih dulu kita buktikan hasil penting berikut.

Theorem 19 {L/K} merupakan perluasan hingga jika dan hanya jika terdapat {\alpha_1,\ldots, \alpha_n} unsur aljabarik atas {K} sehingga {L=K(\alpha_1,\ldots, \alpha_n)}.

Proof: {(\Rightarrow)} Karena {[L:K]<\infty}, kita bisa misalkan {\alpha_1,\ldots, \alpha_n} adalah basis bagi ruang vektor {L/K}. Setiap unsur {\alpha\in L} merupakan kombinasi linier dari {\alpha_1,\ldots,\alpha_n}. Dengan demikian {L\subseteq L(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)}. Inklusi sebaliknya jelas berlaku. Dengan demikian {L=K(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)}. Untuk masing-masing {\alpha_i} himpunan {\{1,\alpha,\ldots, \alpha^n\}} merupakan himpunan yang bergantung linear. Dengan demikian masing-masing {\alpha_i} unsur aljabarik atas {K}.

{(\Leftarrow)} Perhatikan bahwa karena {K\subseteq K(\alpha_1,\ldots, \alpha_i)} dan {\alpha_{i+1}} aljabarik atas {K}, maka minimal polinom dari {\alpha_{i+1}} dapat dianggap sebagai polinom di {K(\alpha_1,\ldots, \alpha_i)[x]}. Dengan demikian {\alpha_{i+1}} aljabarik atas {K(\alpha_1,\ldots, \alpha_i)} dan khususnya kita punyai {[K(\alpha_1,\ldots, \alpha_i)(\alpha_{i+1}):K(\alpha_1,\ldots, \alpha_i)]<\infty} untuk setiap {i}. Untuk mempersingkat notasi kita tuliskan {K(\alpha_1,\ldots, \alpha_i)=F_i} dan {[F_{i+1}:F_i]=[F_i(\alpha_{i+1}):F_i]<\infty}. Jika {L=K(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)} dengan masing-masing {\alpha_j} aljabarik maka

    \begin{align*} [L:K]&=[F_n:K]\\ &=[F_n:F_{n-1}][F_{n-1}:F_{n-2}]\cdots [F_2:F_1][K(\alpha_1):K]\\ &< \infty. \end{align*}

\Box

Corollary 20 Jika {[L:K]<\infty} maka {L/K} adalah perluasan aljabarik.

Proof: Dengan Teorema 19 terdapat {\alpha_1,\ldots,\alpha_n} aljabarik atas {K} sehingga {L=K(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)}. Dengan Teorema 18 ini berakibat {L/K} perluasan aljabarik. \Box

Remark 1 Perlu diperhatikan bahwa arah sebaliknya tidak berlaku. Ada contoh suatu perluasan aljabarik yang merupakan perluasan takhingga.

Untuk memberikan contoh perluasan aljabarik yang takberhingga kita ingatkan pembaca pada Lemma Eisenstein berikut.

Lemma 21 (Eisenstein) Misalkan {P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_1x+a_0\in \mathbb{Z}[x]} dengan sifat: terdapat {p} prima sedemikian sehingga {p} membagi semua {a_i} kecuali untuk {i=n} dan {p^2} tidak membagi {a_0}. Maka {P(X)} taktereduksi di {\mathbb{Q}[x]}.

Example 5 Dengan menggunakan kriteria Eisenstein ini kita dapat melihat bahwa untuk {n\geq 2} kita dapatkan {P_n(x)=x^n-2} merupakan polinom taktereduksi di {\mathbb{Q}[x]} berderajat {n}. Misalkan {\alpha_n} adalah salah satu akar kompleks dari {P_n}. Definisikan {S=\{\alpha_n : n\geq 2\}}. Karena setiap unsur di {S} aljabarik atas {\mathbb{Q}} maka {\mathbb{Q}(S)} merupakan perluasan aljabarik (lihat Teorema 18). Di lain pihak untuk setiap bilangan asli {M} kita peroleh bahwa

\displaystyle  [\mathbb{Q}(S):\mathbb{Q}]\geq [\mathbb{Q}(\alpha_M):\mathbb{Q}]=\deg P_M(x)=M,

maka haruslah {[\mathbb{Q}(S):\mathbb{Q}]=\infty}.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *