Pada artikel ini kita akan buktikan Teorema Cauchy dan kemudian kita gunakan aplikasi sederhananya untuk menunjukkan bahwa grup alternating sederhana. Bukti yang akan di berikan mengikuti buktinya McKay. Beliau membuktikan lemma yang lebih kuat berikut.
Lemma 1 (Mckay) Misalkan
suatu grup berorde
dan
adalah bilangan prima pembagi
. Maka banyaknya solusi dari
di
ada sebanyak
untuk suatu
.
Proof: Tinjau himpunan . Definisikan operator
, operator pergeseran melingkar, melalui
. Definisikan relasi ekivalen di
, dua tupel ekivalen jika kita bisa menerapkan operator
beberapa kali kepada tupel yang satu untuk mendapatkan tupel yang lain. Perhatikan bahwa jika semua
maka kelas ekivalen dari
hanya berisi satu unsur. Jika ada dua komponen yang berbeda, yakni
untuk suatu
, setiap menerapkan operator
kita akan memperoleh tupel yang baru. Baru setelah menerapkan
sebanyak
kali kita kembali ke tupel semula. Dengan demikian dalam situasi ada dua komponen yang berbeda, kelas ekivalennya mengandung
unsur.
Sekarang perhatikan bahwa agar kita bisa memilih
sembarang dan kemudian
ditentukan oleh pemilihan dari
kita, yakni
. Dengan demikian banyaknya anggota di
adalah sama dengan banyaknya cara memilih
yakni sebanyak
.
Kelas-kelas ekivalen dari relasi ekivalen di atas mempartisi . Misalkan ada
kelas ekivalen yang beranggotakan 1 unsur dan
kelas ekivalen yang beranggotakan
unsur. Akibatnya
. Perhatikan bahwa menurut Teorema Little Fermat berlaku
. Karena
membagi
maka
membagi
. Akibatnya
juga membagi
. Perhatikan bahwa
merupakan salah satu kelas ekivalen yang beranggotakan satu unsur. Dengan demikian
dan
dengan
.
Theorem 2 (Cauchy) Misalkan
grup dengan orde
dan
bilangan prima yang membagi
. Maka ada unsur di
yang berorde
.
Proof: Dari bukti Lemma McKay di atas kita melihat bahwa banyaknya solusi dengan
ada sebanyak
.
Dalam tulisan ini kita akan membuktikan bahwa , grup yang memuat semua permutasi genap di
, merupakan grup yang simple.
Untuk bukti kesederhanaan kita menggunakan argumen di bukunya Martin Isaacs Algebra. Dalam bukti ini akan dihindari penggunaan teorema Sylow yang biasanya belum diperoleh pada kuliah teori grup di tingkat sarjana.
Kita akan menggunakan lema berikut dalam pembuktian
Lemma 3 Dua unsur di
saling konjugat jika dan hanya jika keduanya mempunyai struktur putaran (cycle) yang sama.
Theorem 4
merupakan grup yang sederhana.
Proof: Unsur-unsur di mempunyai struktur putaran salah satu diantara struktur:
. Masing-masingnya terdapat
unsur di
dengan struktur putaran tersebut.
Misalkan adalah subgrup normal dari
dengan
dan
. Perhatikan bahwa
. Akibatnya faktor prima dari
adalah 2,3 atau 5.
Jika maka menurut teorema Cauchy, ada unsur berorde 3 yang merupakan unsur di
. Unsur tersebut jelas adalah unsur yang mempunyai struktur putaran
. Berdasarkan lema semua unsur yang mempunyai struktur putaran ini saling konjugat satu sama lain. Karena subgrup normal
tertutup secara konjugasi maka
memuat semua unsur yang memiliki struktur putaran
. Khususnya
. Karena
membagi 60, maka haruslah
.
Jika , kembali dengan teorema Cauchy,
memiliki unsur berorde 5 dan haruslah unsur dengan struktur putaran 5. Dengan kenormalan
maka ke 24 unsur yang memiliki struktur putaran 5 semuanya termuat di
. Jadi
dan karena
membagi
maka haruslah
.
Dengan demikian jika atau
maka
yang mengakibatkan
dan
keduanya membagi
. Akan tetapi ini berarti semua unsur dengan struktur putaran
dan
termuat di
. Jadi
yang tidak mungkin karena
.
Sekarang misalkan , maka dengan argumen yang serupa semua unsur dengan struktur putaran
semuanya terkandung di
. Jadi
. Ini berakibat
Tapi sudah kita tunjukkan di atas hal tersebut tidak mungkin.