Teori Galois 2 – Perluasan Sebagai Ruang Vektor

4. Struktur Ruang Vektor dari Perluasan

Jika ${\alpha}$ aljabarik atas ${K}$ maka menurut Teorema (5) kita miliki

$\displaystyle K(\alpha)=\left\{k_0+k_1\alpha+\cdots k_{n-1}\alpha^{n-1}\mid k_i\in K\right\}.$

Himpunan ${K(\alpha)}$ bisa kita tinjau sebagai himpunan semua ${K}$ -kombinasi linear dari ${\{1,\alpha,\ldots, \alpha^{n-1}\}}$ . Hal ini mendorong kita untuk melihat struktur ruang vektor pada perluasan lapangan.

Lebih umum misalkan ${L/K}$ suatu perluasan. Karena ${L}$ lapangan jelas ${(L,+)}$ merupakan grup komutatif. Definisikan perkalian skalar ${k\cdot u=ku}$ untuk setiap ${k\in K}$ dan ${u\in L}$ . Kami serahkan kepada pembaca bahwa dengan pendefinisian ini penjumlahan dan perkalian skalar di ${L}$ memenuhi aksioma-aksioma ruang vektor. Lebih umum kita mempunyai proposisi berikut yang buktinya diserahkan kepada pembaca.

Proposition 6 Misalkan ${R}$ daerah integral yang memuat lapangan ${K}$ . Dengan penjumlahan dan perkalian skalar seperti di atas ${R}$ merupakan ruang vektor atas ${K}$ .

Exercise 7 Bagaiman jika ${R}$ pada proposisi di atas hanya merupakan gelanggang ? Apakah ${R}$ masih tetap merupakan ruang vektor atas ${K}$ ?

Proposition 7 Misalkan ${\alpha}$ aljabarik atas ${K}$ dengan derajat ${m_\alpha}$ adalah ${n}$ . Maka ${\{1,\alpha,\ldots, \alpha^{n-1}\}}$ adalah basis bagi ruang vektor ${K(\alpha)}$ atas ${K}$ .

Proof: Menurut deskripsi ${K(\alpha)}$ pada Teorema 5 jelas bahwa ${\{1,\alpha,\ldots, \alpha^{n-1}\}}$ membangun ${K}$ . Sekarang kita tunjukkan bahwa ia bebas linear. Misalkan ${t_0+t_1\alpha+\cdots +t_{n-1}\alpha^{n-1}=0}$ . Jika ${t_0,\ldots,t_{n-1}}$ tidak semuanya nol, maka polinom ${f(x)=t_0+t_1x+\cdots+t_{-1}x^{n-1}\in K[x]}$ merupakan polinom berderajat ${\leq n-1}$ yang memenuhi ${f(\alpha)=0}$ . Ini bertentangan dengan keminimalan ${m_\alpha}$ . Dengan demikian ${t_1=t_2=\cdots=t_{n-1}=0}$ dan ${\{1,\alpha,\ldots, \alpha^{n-1}\}}$ bebas linear. $\Box$

Definition 8 Misalkan ${L}$ adalah gelanggang yang memuat lapangan ${K}$ . Dimensi dari ${L}$ sebagai ruang vektor atas ${K}$ kita nyatakan sebagai ${[L:K]}$ .

Berdasarkan definisi ini dan Proposisi 7 kita peroleh

Proposition 9 Jika ${\alpha}$ aljabarik atas ${K}$ maka ${[K(\alpha):K]=\deg m_\alpha}$ dengan ${\deg m_\alpha}$ adalah derajat dari minimal polinomial dari ${\alpha}$ .

Definition 10 Misalkan ${L/K}$ adalah suatu perluasan. Jika ${[L:K]}$ berhingga kita katakan ${L/K}$ adalah perluasan hingga dan ketika ${[L:K]=\infty}$ kita katakan ${L/K}$ perluasan takhingga.

Example 3 Kita akan tunjukkan bahwa ${\mathbb{R}/\mathbb{Q}}$ merupakan perluasan takhingga. Misalkan ${p_k}$ adalah bilangan prima ke- ${k}$ . Kita akan tunjukkan bahwa di ${\mathbb{R}}$ sebagai ruang vektor atas ${\mathbb{Q}}$ himpunan ${\{\log p_1,\log p_2,\ldots, \log p_k,\ldots\}}$ merupakan himpunan yang bebas linier. Dengan menunjukkan hal ini kita mendapatkan takberhingga banyaknya unsur yang bebas linear di ${\mathbb{Q}}$ . Dari sini kita simpulkan ${[\mathbb{R}:\mathbb{Q}]=\infty}$ . Jika ${q_1,\ldots, q_n\in \mathbb{Q}}$ memenuhi ${q_1\log p_1+\cdots +q_n\log p_n=0}$ maka dengan mengambil exponential dari masing-masing ruas kita dapatkan ${p_1^{q_1}p_2^{q_2}\cdots p_n^{q_n}=1}$ . Ini mengakibatkan ${q_1=q_2=\cdots =q_n=0}$ dan kita simpulkan ${\{\log p_1,\log p_2,\ldots, \log p_k,\ldots\}}$ bebas linear.

Theorem 11 Misalkan ${K\subset L\subset M}$ adalah suatu perluasan. Maka berlaku ${[M:K]=[M:L][L:K]}$ .

Proof: Perhatikan bahwa ${L/K}$ adalah subruang dari ${M/L}$ . Jika ${[L:K]=\infty}$ maka demikian pula ${[M:K]}$ . Unsur-unsur di ${M}$ yang bebas linear di ${M/L}$ tentu saja bebas linear di ${M/K}$ . Dengan demikian jika ${[L:K]}$ takhingga, demikian pula dengan ${[M:K]}$ .

Berikutnya bisa kita asumsikan bahwa ${[M:L]=m}$ dan ${[L:K]=n}$ . Misalkan ${\{x_1,\ldots, x_m\}}$ adalah basis bagi ${M/L}$ dan ${\{y_1,\ldots, y_n\}}$ basis bagi ${L/K}$ . Jika persamaan yang ingin kita buktikan benar, kita berharap bahwa ${[M:K]=mn}$ . Dari mana kita bisa mendapatkan ${mn}$ unsur basis bagi ${M}$ ? Dalam kotak penyimpanan kita kita mempunyai ${m}$ unsur basis bagi ${M/L}$ dan ${n}$ unsur basis bagi ${L/K}$ ? Tentunya alamiah kita meninjau himpunan ${S=\{x_iy_j \mid i=1\ldots m, j=1,\ldots, n\}}$ dan berharap ${S}$ merupakan basis bagi ${M/K}$ .

Ambil ${m\in M}$ . Karena ${\{x_1,\ldots, x_m\}}$ basis bagi ${M/L}$ kita bisa tuliskan ${m=\sum_{i=1}^m \ell_i x_i}$ untuk suatu ${\ell_i\in L}$ . Sekarang masing masing ${\ell_i}$ bisa kita tuliskan sebagai ${\ell_i=\sum_{j=1}^n k_{ij}y_j}$ untuk suatu ${k_{ij}\in K}$ . Dengan demikian ${m=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n k_{ij} x_iy_j}$ merupakan kombinasi linier unsur-unsur di ${S}$ atau dengan kata lain ${\text{span } S=M}$ .

Jika ${k_{i,j}\in K}$ sehingga ${0=\sum_{i=1}^m\sum_{i=1}^n k_{i,j}x_iy_i=0=\sum_{i=1}^m\left(\sum_{j=1}^n k_{i,j}y_j\right)x_i}$ maka dengan kebebas linearan ${\{x_1,\ldots, x_m\}}$ kita peroleh ${\sum_{j=1}^n k_{i,j}y_j=0}$ untuk setiap ${i=1,\ldots,m}$ . Kemudian dengan kebebas linearan ${\{y_1,\ldots,y_n\}}$ didapat ${k_{i,j}=0}$ untuk setiap ${i}$ dan ${j}$ . Jadi ${S}$ bebas linear dan merupakan basis dari ${M/K}$ . $\Box$

Hasil berikutnya merupakan hasil yang cukup penting dimana kita bisa mengenali kapan suatu unsur aljabarik lewat dimensi lapangan perluasannya.

Proposition 12 Unsur ${\alpha}$ aljabarik atas ${K}$ jika dan hanya jika ${[K(\alpha):K]<\infty}$

Proof: Untuk arah ke kanan jelas dari Proposisi 7. Untuk sebaliknya misalkan ${[K(\alpha):K]=n <\infty}$ . di ${K(\alpha)}$ . Karena dimensi menyatakan banyaknya unsur maksimum yang bisa bebas linier maka haruslah ke ${n+1}$ buah unsur ${1,\alpha,\ldots, \alpha^{n+1}}$ bergantung linear. Jadi terdapat ${k_0,\ldots, k_n}$ yang tidak semuanya nol sehingga ${\sum_{i=0}^n k_i\alpha^i=0}$ . Jadi ${\alpha}$ aljabarik karena merupakan akar dari polinom ${f(x)=\sum_{i=0}^n k_ix^n}$ . $\Box$

Misalkan ${\alpha}$ aljabarik atas ${K}$ dan misalkan ${f(x)\in K[x]}$ memenuhi ${f(\alpha)=0}$ . Perhatikan bahwa bukan perkara yang mudah untuk melihat bahwa jika ${\beta\in K(\alpha)}$ maka ${\beta}$ juga aljabarik. Jika kita diminta untuk mencari suatu polinom eksplisit ${g(x)\in K[x]}$ yang memenuhi ${g(\beta)=0}$ , kita akan kesulitan karena kita hanya mempunyai informasi ${f(x)}$ . Artinya kita harus menyatakan ${g(x)}$ kita dalam ${f(x)}$ .

Akan tetapi dengan menggunakan Teorema 12, menunjukkan ${\beta}$ juga aljabarik atas ${K}$ adalah hal yang mudah, kita cukup menunjukkan bahwa ${[K(\beta):K]<\infty}$ . Untuk melihat hal tersebut tinjau ${\{1,\beta,\ldots, \beta^{n}\}}$ yang merupakan ${n+1}$ unsur di ruang vektor ${K(\alpha)}$ berdimensi ${n}$ . Akibatnya ${\{1,\beta,\ldots, \beta^{n}\}}$ bergantung linear dan terdapat ${k_0,\ldots, k_n\in K}$ sehingga ${\sum_{i=0}^n k_i\beta^i=0}$ . Kita akan melihat hasil yang lebih umum dari ini pada subbab berikutnya.

Proposition 13 ${[K(\alpha,\beta):K]\leq [K(\alpha):K][K(\beta):K]}$

Proof: Jika ${[K(\alpha):K]=\infty}$ atau ${[K(\beta):K]}$ merupakan perluasan takhingga maka jelas bahwa ${[K(\alpha,\beta):K]}$ mengingat ${K(\alpha)\cup K(\beta)\subseteq K(\alpha,\beta)}$ .

Untuk selanjutnya kita asumsikan ${[K(\alpha):K],[K(\beta):K]<\infty}$ . Kita akan tunjukkan bahwa ${[K(\beta)(\alpha):K(\alpha)]\leq [K(\alpha):K]}$ . Misalkan ${m_\alpha(x)}$ adalah polinom minimal dari ${\alpha}$ atas ${K}$ . Karena ${K\subset K(\beta)}$ maka polinom ${m_\alpha(x)}$ bisa kita tinjau sebagai polinom monik di ${K(\beta)[x]}$ yang mempunyai akar ${\alpha}$ . Di lain pihak ${[K(\beta)(\alpha):K]}$ adalah derajat terkecil dari polinom di ${K(\beta)[x]}$ yang memiliki ${\alpha}$ sebagai akarnya. Dari keminimalan ini kita peroleh ${[K(\beta)(\alpha):K(\beta)]\leq \deg m_\alpha(x)=[K(\alpha):K]}$ . Akibatnya

$\displaystyle [K(\alpha,\beta):K]=[K(\beta)(\alpha)):K(\beta)][K(\beta):K]\leq [K(\alpha):K][K(\beta):K].$

$\Box$

Hasil yang lebih umum ini juga berlaku dan kita serahkan kepada pembaca.

Exercise 8 Misalkan ${S,T}$ adalah dua lapangan diantara lapangan ${K\subset L}$ . Kita akan membuktikan bahwa

$\displaystyle [K(S\cup T):K]\leq [S:K][T:K]$

Tunjukkan bahwa jika salah satu diantara ${[S:K]}$ atau ${[T:K]}$ merupakan perluasan takhingga maka demikian juga dengan ${[K(S\cup T):K]}$ .
Definisikan ${R=\left\{\sum_{i=1}^n a_ib_i\,\bigg|\, n\in \mathbb{N}, a_i\in S, b_i\in T\right\}}$ . Tunjukkan bahwa ${R}$ adalah subring dari ${L}$ yang memuat ${S}$ dan ${T}$ .
Tunjukkan bahwa ${R}$ ruang vektor atas ${K}$ dan ${[R:K(T)]\leq [K(S):K]}$ .
Buktikan bahwa ${R}$ lapangan dan ${R=K(S\cup T)}$ , kemudian buktikan ketaksamaan yang diminta.

Berikutnya kita akan melihat bagaimana analisis dimensi memberikan suatu teknik yang berguna untuk melihat kapan dua perluasan merupakan lapangan yang sama.

Example 4 Pada Latihan 5 kita diminta untuk memeriksa apakah ada diantara ${\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3}), \mathbb{Q}(\sqrt{6}), \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})}$ yang merupakan himpunan yang sama. Dengan analisis dimensi kita akan menunjukkan bahwa ${\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})}$ . Perhatikan jelas bahwa ${\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3}) \subseteq \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})}$ . Dengan cukup kreatifitas sebetulnya kita bisa menunjukkan bahwa ${\sqrt{2},\sqrt{3}\in \mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})}$ sehingga kedua perluasan merupakan himpunan yang sama.

Exercise 9 Fakta-fakta berikut akan kita pergunakan untuk menyelesaikan soal di Contoh 4 akan tetapi sangat baik untuk dijadikan latihan.

Buktikan bahwa

${x^2-2}$ dan ${x^2-3}$ berturut-turut adalah polinom minimal dari ${\sqrt{2}}$ dan ${\sqrt{3}}$ di ${\mathbb{Q}[x]}$ .
${\sqrt{3}\not \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})}$ . Tunjukkan bahwa ini berakibat ${x^2-3}$ adalah polinom minimal dari ${\sqrt{3}}$ di ${\mathbb{Q}(\sqrt{2})[x]}$
Tunjukkan bahwa polinom minimal dari ${\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ atas ${\mathbb{Q}}$ berderajat ${4}$ .

Dari Latihan 9 di atas kita peroleh

$\begin{align*} [\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}):\mathbb{Q}]&=[\mathbb{Q}(\sqrt{2})(\sqrt{3}):\mathbb{Q}(\sqrt{2})][\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}]\\ &= \deg (x^2-3)\cdot \deg (x^2-2)\\ &=4\\ &=\deg (\text{ polinom minimal dari } \sqrt{2}+\sqrt{3})\\ &=[\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3}):\mathbb{Q}] \end{align*}$

Berarti ${\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})\subseteq \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})}$ keduanya merupakan ruang vektor atas ${\mathbb{Q}}$ yang berdimensi 4. Karena juga ruang vektor yang satu termuat di yang lain, maka haruslah keduanya merupakan ruang vektor yang sama.

Leave a Reply Cancel reply