Teori Galois 2 – Perluasan Sebagai Ruang Vektor

4. Struktur Ruang Vektor dari Perluasan

Jika {\alpha} aljabarik atas {K} maka menurut Teorema (5) kita miliki

\displaystyle K(\alpha)=\left\{k_0+k_1\alpha+\cdots k_{n-1}\alpha^{n-1}\mid k_i\in K\right\}.

Himpunan {K(\alpha)} bisa kita tinjau sebagai himpunan semua {K}-kombinasi linear dari {\{1,\alpha,\ldots, \alpha^{n-1}\}}. Hal ini mendorong kita untuk melihat struktur ruang vektor pada perluasan lapangan.

Lebih umum misalkan {L/K} suatu perluasan. Karena {L} lapangan jelas {(L,+)} merupakan grup komutatif. Definisikan perkalian skalar {k\cdot u=ku} untuk setiap {k\in K} dan {u\in L}. Kami serahkan kepada pembaca bahwa dengan pendefinisian ini penjumlahan dan perkalian skalar di {L} memenuhi aksioma-aksioma ruang vektor. Lebih umum kita mempunyai proposisi berikut yang buktinya diserahkan kepada pembaca.

Proposition 6 Misalkan {R} daerah integral yang memuat lapangan {K}. Dengan penjumlahan dan perkalian skalar seperti di atas {R} merupakan ruang vektor atas {K}.

Exercise 7 Bagaiman jika {R} pada proposisi di atas hanya merupakan gelanggang ? Apakah {R} masih tetap merupakan ruang vektor atas {K}?

Proposition 7 Misalkan {\alpha} aljabarik atas {K} dengan derajat {m_\alpha} adalah {n}. Maka {\{1,\alpha,\ldots, \alpha^{n-1}\}} adalah basis bagi ruang vektor {K(\alpha)} atas {K}.

Proof: Menurut deskripsi {K(\alpha)} pada Teorema 5 jelas bahwa {\{1,\alpha,\ldots, \alpha^{n-1}\}} membangun {K}. Sekarang kita tunjukkan bahwa ia bebas linear. Misalkan {t_0+t_1\alpha+\cdots +t_{n-1}\alpha^{n-1}=0}. Jika {t_0,\ldots,t_{n-1}} tidak semuanya nol, maka polinom {f(x)=t_0+t_1x+\cdots+t_{-1}x^{n-1}\in K[x]} merupakan polinom berderajat {\leq n-1} yang memenuhi {f(\alpha)=0}. Ini bertentangan dengan keminimalan {m_\alpha}. Dengan demikian {t_1=t_2=\cdots=t_{n-1}=0} dan {\{1,\alpha,\ldots, \alpha^{n-1}\}} bebas linear. \Box

Definition 8 Misalkan {L} adalah gelanggang yang memuat lapangan {K}. Dimensi dari {L} sebagai ruang vektor atas {K} kita nyatakan sebagai {[L:K]}.

Berdasarkan definisi ini dan Proposisi 7 kita peroleh

Proposition 9 Jika {\alpha} aljabarik atas {K} maka {[K(\alpha):K]=\deg m_\alpha} dengan {\deg m_\alpha} adalah derajat dari minimal polinomial dari {\alpha}.

Definition 10 Misalkan {L/K} adalah suatu perluasan. Jika {[L:K]} berhingga kita katakan {L/K} adalah perluasan hingga dan ketika {[L:K]=\infty} kita katakan {L/K} perluasan takhingga.

Example 3 Kita akan tunjukkan bahwa {\mathbb{R}/\mathbb{Q}} merupakan perluasan takhingga. Misalkan {p_k} adalah bilangan prima ke-{k}. Kita akan tunjukkan bahwa di {\mathbb{R}} sebagai ruang vektor atas {\mathbb{Q}} himpunan {\{\log p_1,\log p_2,\ldots, \log p_k,\ldots\}} merupakan himpunan yang bebas linier. Dengan menunjukkan hal ini kita mendapatkan takberhingga banyaknya unsur yang bebas linear di {\mathbb{Q}}. Dari sini kita simpulkan {[\mathbb{R}:\mathbb{Q}]=\infty}. Jika {q_1,\ldots, q_n\in \mathbb{Q}} memenuhi {q_1\log p_1+\cdots +q_n\log p_n=0} maka dengan mengambil exponential dari masing-masing ruas kita dapatkan {p_1^{q_1}p_2^{q_2}\cdots p_n^{q_n}=1}. Ini mengakibatkan {q_1=q_2=\cdots =q_n=0} dan kita simpulkan {\{\log p_1,\log p_2,\ldots, \log p_k,\ldots\}} bebas linear.

Theorem 11 Misalkan {K\subset L\subset M} adalah suatu perluasan. Maka berlaku {[M:K]=[M:L][L:K]}.

Proof: Perhatikan bahwa {L/K} adalah subruang dari {M/L}. Jika {[L:K]=\infty} maka demikian pula {[M:K]}. Unsur-unsur di {M} yang bebas linear di {M/L} tentu saja bebas linear di {M/K}. Dengan demikian jika {[L:K]} takhingga, demikian pula dengan {[M:K]}.

Berikutnya bisa kita asumsikan bahwa {[M:L]=m} dan {[L:K]=n}. Misalkan {\{x_1,\ldots, x_m\}} adalah basis bagi {M/L} dan {\{y_1,\ldots, y_n\}} basis bagi {L/K}. Jika persamaan yang ingin kita buktikan benar, kita berharap bahwa {[M:K]=mn}. Dari mana kita bisa mendapatkan {mn} unsur basis bagi {M}? Dalam kotak penyimpanan kita kita mempunyai {m} unsur basis bagi {M/L} dan {n} unsur basis bagi {L/K}? Tentunya alamiah kita meninjau himpunan {S=\{x_iy_j \mid i=1\ldots m, j=1,\ldots, n\}} dan berharap {S} merupakan basis bagi {M/K}.

Ambil {m\in M}. Karena {\{x_1,\ldots, x_m\}} basis bagi {M/L} kita bisa tuliskan {m=\sum_{i=1}^m \ell_i x_i} untuk suatu {\ell_i\in L}. Sekarang masing masing {\ell_i} bisa kita tuliskan sebagai {\ell_i=\sum_{j=1}^n k_{ij}y_j} untuk suatu {k_{ij}\in K}. Dengan demikian {m=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n k_{ij} x_iy_j} merupakan kombinasi linier unsur-unsur di {S} atau dengan kata lain {\text{span } S=M}.

Jika {k_{i,j}\in K} sehingga {0=\sum_{i=1}^m\sum_{i=1}^n k_{i,j}x_iy_i=0=\sum_{i=1}^m\left(\sum_{j=1}^n k_{i,j}y_j\right)x_i} maka dengan kebebas linearan {\{x_1,\ldots, x_m\}} kita peroleh {\sum_{j=1}^n k_{i,j}y_j=0} untuk setiap {i=1,\ldots,m}. Kemudian dengan kebebas linearan {\{y_1,\ldots,y_n\}} didapat {k_{i,j}=0} untuk setiap {i} dan {j}. Jadi {S} bebas linear dan merupakan basis dari {M/K}. \Box

Hasil berikutnya merupakan hasil yang cukup penting dimana kita bisa mengenali kapan suatu unsur aljabarik lewat dimensi lapangan perluasannya.

Proposition 12 Unsur {\alpha} aljabarik atas {K} jika dan hanya jika {[K(\alpha):K]<\infty}

Proof: Untuk arah ke kanan jelas dari Proposisi 7. Untuk sebaliknya misalkan {[K(\alpha):K]=n <\infty}. di {K(\alpha)}. Karena dimensi menyatakan banyaknya unsur maksimum yang bisa bebas linier maka haruslah ke {n+1} buah unsur {1,\alpha,\ldots, \alpha^{n+1}} bergantung linear. Jadi terdapat {k_0,\ldots, k_n} yang tidak semuanya nol sehingga {\sum_{i=0}^n k_i\alpha^i=0}. Jadi {\alpha} aljabarik karena merupakan akar dari polinom {f(x)=\sum_{i=0}^n k_ix^n}. \Box

Misalkan {\alpha} aljabarik atas {K} dan misalkan {f(x)\in K[x]} memenuhi {f(\alpha)=0}. Perhatikan bahwa bukan perkara yang mudah untuk melihat bahwa jika {\beta\in K(\alpha)} maka {\beta} juga aljabarik. Jika kita diminta untuk mencari suatu polinom eksplisit {g(x)\in K[x]} yang memenuhi {g(\beta)=0}, kita akan kesulitan karena kita hanya mempunyai informasi {f(x)}. Artinya kita harus menyatakan {g(x)} kita dalam {f(x)}.

Akan tetapi dengan menggunakan Teorema 12, menunjukkan {\beta} juga aljabarik atas {K} adalah hal yang mudah, kita cukup menunjukkan bahwa {[K(\beta):K]<\infty}. Untuk melihat hal tersebut tinjau {\{1,\beta,\ldots, \beta^{n}\}} yang merupakan {n+1} unsur di ruang vektor {K(\alpha)} berdimensi {n}. Akibatnya {\{1,\beta,\ldots, \beta^{n}\}} bergantung linear dan terdapat {k_0,\ldots, k_n\in K} sehingga {\sum_{i=0}^n k_i\beta^i=0}. Kita akan melihat hasil yang lebih umum dari ini pada subbab berikutnya.

Proposition 13 {[K(\alpha,\beta):K]\leq [K(\alpha):K][K(\beta):K]}

Proof: Jika {[K(\alpha):K]=\infty} atau {[K(\beta):K]} merupakan perluasan takhingga maka jelas bahwa {[K(\alpha,\beta):K]} mengingat {K(\alpha)\cup K(\beta)\subseteq K(\alpha,\beta)}.

Untuk selanjutnya kita asumsikan {[K(\alpha):K],[K(\beta):K]<\infty}. Kita akan tunjukkan bahwa {[K(\beta)(\alpha):K(\alpha)]\leq [K(\alpha):K]}. Misalkan {m_\alpha(x)} adalah polinom minimal dari {\alpha} atas {K}. Karena {K\subset K(\beta)} maka polinom {m_\alpha(x)} bisa kita tinjau sebagai polinom monik di {K(\beta)[x]} yang mempunyai akar {\alpha}. Di lain pihak {[K(\beta)(\alpha):K]} adalah derajat terkecil dari polinom di {K(\beta)[x]} yang memiliki {\alpha} sebagai akarnya. Dari keminimalan ini kita peroleh {[K(\beta)(\alpha):K(\beta)]\leq \deg m_\alpha(x)=[K(\alpha):K]}. Akibatnya

\displaystyle  [K(\alpha,\beta):K]=[K(\beta)(\alpha)):K(\beta)][K(\beta):K]\leq [K(\alpha):K][K(\beta):K].

\Box

Hasil yang lebih umum ini juga berlaku dan kita serahkan kepada pembaca.

Exercise 8 Misalkan {S,T} adalah dua lapangan diantara lapangan {K\subset L}. Kita akan membuktikan bahwa

\displaystyle  [K(S\cup T):K]\leq [S:K][T:K]

  1. Tunjukkan bahwa jika salah satu diantara {[S:K]} atau {[T:K]} merupakan perluasan takhingga maka demikian juga dengan {[K(S\cup T):K]}.
  2. Definisikan {R=\left\{\sum_{i=1}^n a_ib_i\,\bigg|\, n\in \mathbb{N}, a_i\in S, b_i\in T\right\}}. Tunjukkan bahwa {R} adalah subring dari {L} yang memuat {S} dan {T}.
  3. Tunjukkan bahwa {R} ruang vektor atas {K} dan {[R:K(T)]\leq [K(S):K]}.
  4. Buktikan bahwa {R} lapangan dan {R=K(S\cup T)}, kemudian buktikan ketaksamaan yang diminta.

Berikutnya kita akan melihat bagaimana analisis dimensi memberikan suatu teknik yang berguna untuk melihat kapan dua perluasan merupakan lapangan yang sama.

Example 4 Pada Latihan 5 kita diminta untuk memeriksa apakah ada diantara {\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3}), \mathbb{Q}(\sqrt{6}), \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})} yang merupakan himpunan yang sama. Dengan analisis dimensi kita akan menunjukkan bahwa {\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})}. Perhatikan jelas bahwa {\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3}) \subseteq \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})}. Dengan cukup kreatifitas sebetulnya kita bisa menunjukkan bahwa {\sqrt{2},\sqrt{3}\in \mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})} sehingga kedua perluasan merupakan himpunan yang sama.

Exercise 9 Fakta-fakta berikut akan kita pergunakan untuk menyelesaikan soal di Contoh 4 akan tetapi sangat baik untuk dijadikan latihan.

Buktikan bahwa

  1. {x^2-2} dan {x^2-3} berturut-turut adalah polinom minimal dari {\sqrt{2}} dan {\sqrt{3}} di {\mathbb{Q}[x]}.
  2. {\sqrt{3}\not \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})}. Tunjukkan bahwa ini berakibat {x^2-3} adalah polinom minimal dari {\sqrt{3}} di {\mathbb{Q}(\sqrt{2})[x]}
  3. Tunjukkan bahwa polinom minimal dari {\sqrt{2}+\sqrt{3}} atas {\mathbb{Q}} berderajat {4}.

Dari Latihan 9 di atas kita peroleh

    \begin{align*} [\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}):\mathbb{Q}]&=[\mathbb{Q}(\sqrt{2})(\sqrt{3}):\mathbb{Q}(\sqrt{2})][\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}]\\ &= \deg (x^2-3)\cdot \deg (x^2-2)\\ &=4\\ &=\deg (\text{ polinom minimal dari } \sqrt{2}+\sqrt{3})\\ &=[\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3}):\mathbb{Q}] \end{align*}

Berarti {\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})\subseteq \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})} keduanya merupakan ruang vektor atas {\mathbb{Q}} yang berdimensi 4. Karena juga ruang vektor yang satu termuat di yang lain, maka haruslah keduanya merupakan ruang vektor yang sama.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *