4. Struktur Ruang Vektor dari Perluasan
Jika aljabarik atas
maka menurut Teorema (5) kita miliki
Himpunan bisa kita tinjau sebagai himpunan semua
-kombinasi linear dari
. Hal ini mendorong kita untuk melihat struktur ruang vektor pada perluasan lapangan.
Lebih umum misalkan suatu perluasan. Karena
lapangan jelas
merupakan grup komutatif. Definisikan perkalian skalar
untuk setiap
dan
. Kami serahkan kepada pembaca bahwa dengan pendefinisian ini penjumlahan dan perkalian skalar di
memenuhi aksioma-aksioma ruang vektor. Lebih umum kita mempunyai proposisi berikut yang buktinya diserahkan kepada pembaca.
Proposition 6 Misalkan
daerah integral yang memuat lapangan
. Dengan penjumlahan dan perkalian skalar seperti di atas
merupakan ruang vektor atas
.
Exercise 7 Bagaiman jika
pada proposisi di atas hanya merupakan gelanggang ? Apakah
masih tetap merupakan ruang vektor atas
?
Proposition 7 Misalkan
aljabarik atas
dengan derajat
adalah
. Maka
adalah basis bagi ruang vektor
atas
.
Proof: Menurut deskripsi pada Teorema 5 jelas bahwa
membangun
. Sekarang kita tunjukkan bahwa ia bebas linear. Misalkan
. Jika
tidak semuanya nol, maka polinom
merupakan polinom berderajat
yang memenuhi
. Ini bertentangan dengan keminimalan
. Dengan demikian
dan
bebas linear.
Definition 8 Misalkan
adalah gelanggang yang memuat lapangan
. Dimensi dari
sebagai ruang vektor atas
kita nyatakan sebagai
.
Berdasarkan definisi ini dan Proposisi 7 kita peroleh
Proposition 9 Jika
aljabarik atas
maka
dengan
adalah derajat dari minimal polinomial dari
.
Definition 10 Misalkan
adalah suatu perluasan. Jika
berhingga kita katakan
adalah perluasan hingga dan ketika
kita katakan
perluasan takhingga.
Example 3 Kita akan tunjukkan bahwa
merupakan perluasan takhingga. Misalkan
adalah bilangan prima ke-
. Kita akan tunjukkan bahwa di
sebagai ruang vektor atas
himpunan
merupakan himpunan yang bebas linier. Dengan menunjukkan hal ini kita mendapatkan takberhingga banyaknya unsur yang bebas linear di
. Dari sini kita simpulkan
. Jika
memenuhi
maka dengan mengambil exponential dari masing-masing ruas kita dapatkan
. Ini mengakibatkan
dan kita simpulkan
bebas linear.
Theorem 11 Misalkan
adalah suatu perluasan. Maka berlaku
.
Proof: Perhatikan bahwa adalah subruang dari
. Jika
maka demikian pula
. Unsur-unsur di
yang bebas linear di
tentu saja bebas linear di
. Dengan demikian jika
takhingga, demikian pula dengan
.
Berikutnya bisa kita asumsikan bahwa dan
. Misalkan
adalah basis bagi
dan
basis bagi
. Jika persamaan yang ingin kita buktikan benar, kita berharap bahwa
. Dari mana kita bisa mendapatkan
unsur basis bagi
? Dalam kotak penyimpanan kita kita mempunyai
unsur basis bagi
dan
unsur basis bagi
? Tentunya alamiah kita meninjau himpunan
dan berharap
merupakan basis bagi
.
Ambil . Karena
basis bagi
kita bisa tuliskan
untuk suatu
. Sekarang masing masing
bisa kita tuliskan sebagai
untuk suatu
. Dengan demikian
merupakan kombinasi linier unsur-unsur di
atau dengan kata lain
.
Jika sehingga
maka dengan kebebas linearan
kita peroleh
untuk setiap
. Kemudian dengan kebebas linearan
didapat
untuk setiap
dan
. Jadi
bebas linear dan merupakan basis dari
.
Hasil berikutnya merupakan hasil yang cukup penting dimana kita bisa mengenali kapan suatu unsur aljabarik lewat dimensi lapangan perluasannya.
Proof: Untuk arah ke kanan jelas dari Proposisi 7. Untuk sebaliknya misalkan . di
. Karena dimensi menyatakan banyaknya unsur maksimum yang bisa bebas linier maka haruslah ke
buah unsur
bergantung linear. Jadi terdapat
yang tidak semuanya nol sehingga
. Jadi
aljabarik karena merupakan akar dari polinom
.
Misalkan aljabarik atas
dan misalkan
memenuhi
. Perhatikan bahwa bukan perkara yang mudah untuk melihat bahwa jika
maka
juga aljabarik. Jika kita diminta untuk mencari suatu polinom eksplisit
yang memenuhi
, kita akan kesulitan karena kita hanya mempunyai informasi
. Artinya kita harus menyatakan
kita dalam
.
Akan tetapi dengan menggunakan Teorema 12, menunjukkan juga aljabarik atas
adalah hal yang mudah, kita cukup menunjukkan bahwa
. Untuk melihat hal tersebut tinjau
yang merupakan
unsur di ruang vektor
berdimensi
. Akibatnya
bergantung linear dan terdapat
sehingga
. Kita akan melihat hasil yang lebih umum dari ini pada subbab berikutnya.
Proof: Jika atau
merupakan perluasan takhingga maka jelas bahwa
mengingat
.
Untuk selanjutnya kita asumsikan . Kita akan tunjukkan bahwa
. Misalkan
adalah polinom minimal dari
atas
. Karena
maka polinom
bisa kita tinjau sebagai polinom monik di
yang mempunyai akar
. Di lain pihak
adalah derajat terkecil dari polinom di
yang memiliki
sebagai akarnya. Dari keminimalan ini kita peroleh
. Akibatnya
Hasil yang lebih umum ini juga berlaku dan kita serahkan kepada pembaca.
Exercise 8 Misalkan
adalah dua lapangan diantara lapangan
. Kita akan membuktikan bahwa
- Tunjukkan bahwa jika salah satu diantara
atau
merupakan perluasan takhingga maka demikian juga dengan
.
- Definisikan
. Tunjukkan bahwa
adalah subring dari
yang memuat
dan
.
- Tunjukkan bahwa
ruang vektor atas
dan
.
- Buktikan bahwa
lapangan dan
, kemudian buktikan ketaksamaan yang diminta.
Berikutnya kita akan melihat bagaimana analisis dimensi memberikan suatu teknik yang berguna untuk melihat kapan dua perluasan merupakan lapangan yang sama.
Example 4 Pada Latihan 5 kita diminta untuk memeriksa apakah ada diantara
yang merupakan himpunan yang sama. Dengan analisis dimensi kita akan menunjukkan bahwa
. Perhatikan jelas bahwa
. Dengan cukup kreatifitas sebetulnya kita bisa menunjukkan bahwa
sehingga kedua perluasan merupakan himpunan yang sama.
Exercise 9 Fakta-fakta berikut akan kita pergunakan untuk menyelesaikan soal di Contoh 4 akan tetapi sangat baik untuk dijadikan latihan.
Buktikan bahwa
dan
berturut-turut adalah polinom minimal dari
dan
di
.
. Tunjukkan bahwa ini berakibat
adalah polinom minimal dari
di
![]()
- Tunjukkan bahwa polinom minimal dari
atas
berderajat
.
Dari Latihan 9 di atas kita peroleh
Berarti
keduanya merupakan ruang vektor atas
yang berdimensi 4. Karena juga ruang vektor yang satu termuat di yang lain, maka haruslah keduanya merupakan ruang vektor yang sama.