Teori Galois 1 – Lapangan Perluasan

1. Akar Polinom

Misalkan {f(x)} merupakan polinom dengan koefisien real. Kita mengetahui bahwa tidak setiap polinom dengan koefisien real mempunyai akar real. Sebagai contoh {f(x)=x^2+1} tidak mempunyai akar real karena untuk setiap {r\in \mathbb{R}} berlaku {f(r)=r^2+1\geq 1>0}. Dilain pihak kita mengetahui bahwa {f(x)=x^2+1} memiliki akar kompleks {\pm i}. Faktanya menurut Teorema Dasar Aljabar setiap polinom dengan koefisien real berderajat {n} memiliki {n} buah akar kompleks (dihitung beserta multiplistitasnya).

Dengan kata lain kita membuat persamaan {x^2+1=0} menjadi memiliki solusi dengan mengizinkan {x} merupakan unsur dari lapangan yang lebih luas {\mathbb{C}}. Perhatikan bahwa jika {K} adalah lapangan lain yang mengandung {\mathbb{R}} dan memuat {\pm i} (akar dari {x^2+1}), maka {K} memuat semua ekspresi {a+ib} untuk setiap {a,b\in \mathbb{R}}. Ini berarti bahwa {K} juga memuat {\mathbb{C}}. Di sini kita bisa melihat bahwa {\mathbb{C}} adalah lapangan terkecil yang memuat {\mathbb{R}} dan sekaligus membuat persamaan {x^2+1=0} mempunyai solusi.

2. Lapangan Perluasan

Misalkan {K} suatu lapangan. Jika {L} merupakan lapangan dan {L\supset K}, kita katakan bahwa {L} merupakan lapangan perluasan dari {K}. Untuk selanjutnya ketika konteksnya jelas kita akan mengatakan bahwa {L} adalah perluasan dari {K} dan secara singkat bisa kita ungkapkan dengan mengatakan {L/K} adalah suatu perluasan. Perhatikan bahwa {\mathbb{C}} merupakan perluasan dari {\mathbb{R}} yang mengandung {\pm i} (akar-akar dari {x^2+1}). Jika {F/\mathbb{R}} adalah lapangan perluasan yang juga memuat {\pm i}, maka dari sifat lapangan {F} memuat semua unsur berbentuk {a+bi} dengan {a,b\in \mathbb{R}}. Dengan kata lain {F} memuat {\mathbb{C}}. Dengan demikian kita bisa melihat {\mathbb{C}} sebagai perluasan terkecil dari {\mathbb{R}} yang memuat {\pm i}.

Definition 1 Misalkan {L/K} suatu perluasan dan {S\subseteq L}. Himpunan {K(S)} didefinisikan sebagai perluasan terkecil dari {K} yang memuat {S}.

Tentunya kita bertanya-tanya apakah {K(S)} selalu ada? Perhatikan koleksi {\mathcal{F}} dari perluasan {F/K} yang memuat {S}, yakni {\mathcal{F}=\{F : F/K \text{ perluasan dan } F\supseteq S\} }. Koleksi ini tidak hampa karena {L\in \mathcal{F}}. Tinjau himpunan {\bigcap _{F\in \mathcal{F}} F}. Sebagai latihan pembaca disarankan untuk mengerjakan latihan berikut yang menunjukkan eksistensi dari {K(S)}.

Exercise 1 Tunjukkan bahwa {\bigcap _{F\in \mathcal{F}} F =K(S)} dengan menunjukkan bahwa {\bigcap _{F\in \mathcal{F}} F} merupakan lapangan perluasan dari {K} terkecil yang memuat {S}.

Menurut pendefinisian {K(S)}, himpunan {S} selalu diasumsikan termuat di suatu perluasan {L/K}. Akan tetapi berikutnya kita mungkin tidak akan secara eksplisit menyebutkan lapangan {L} yang memuat {S}. Kita katakan bahwa {K(S)} adalah perluasan yang diperoleh dengan menempelkan {S} ke {K}.

Exercise 2 Buktikan bahwa {K(S \cup T)=K(S)(T).}

Untuk memperjelas soal latihan di atas, notasi {K(S\cup T)} menyatakan perluasan dari {K} dengan menempelkan {S\cup T} sedangkan {K(S)(T)} berarti kita pertam menempelkan {S} pada {K} untuk mendapatkan {K(S)} kemudian kita lanjutkan dengan menempelkan {T} ke {K(S)} untuk mendapatkan {K(S)(T)}.

Berikutnya kita ingin mendapatkan pemahaman yang lebih dalam mengenai {K(S)} kita ingin mengenali bagaimana bentuk unsur-unsur di {K(S)}. Pertama kita definisikan himpunan {W_S} sebagai himpunan yang unsur-unsurnya adalah himpunan semua kata berhingga yang huruf-hurufnya berasal dari {S}. Dengan definisi kita anggap {1} sebagai perkalian dari nol buah unsur di {S} sehingga dengan kesepakatan ini {1} merupakan unsur di {W_S}. Sebagai contoh jika {S=\{\alpha, \beta\}} maka {\alpha\alpha \beta \alpha=\alpha^2\beta\alpha} dan {\beta\alpha \beta\beta \beta=\beta\alpha\beta^3} adalah beberapa contoh unsur-unsur di {W_S}. Kemudian definisikan

\displaystyle R_S=\left\{\sum_{i=1}^n k_iw_i \,\bigg |\, n \text{ suatu bilangan asli }, k_i\in K, w_i\in W_S\right\}.

Berdasarkan definisi dari {R_S}, jelas {R_S} tertutup terhadap operasi penjumlahan. Untuk operasi perkalian pertama perhatikan bahwa jika {u,v\in W_S} maka {uv} juga merupakan suatu kata di {W_S}. Dengan sifat distributi bisa kita tunjukkan bahwa untuk setiap {\sum_{i=1}^m s_iu_i, \sum_{i=1}^n t_iv_i\in R_S} kita peroleh perkalian keduanya juga di {R_S}. Dengan kata lain {R_S} tertutup terhadap operasi perkalian. Ini menunjukkan bahwa {R_S} suatu subring dari {L}. Karena {L} lapangan maka {R_S} suatu daerah integral.

Sebelum kita lanjutkan kita akan mengingatkan pembaca akan fakta berikut.

Theorem 2 Misalkan {D} suatu daerah integral. Maka

\displaystyle  T(D):=\{a/b \,|\, a,b\in D, b\neq 0\}

adalah suatu lapangan dan merupakan lapangan terkecil yang memuat {D}. Lapangan {T(D)} disebut sebagai field of fraction dari {D}.

{T(D)} merupakan himpunan kelas ekivalen dengan {\frac{a}{b}=\frac{c}{d}} jika dan hanya jika {ad=bc}. Penjumlahan dan perkalian di {T(D)} didefinisikan melalui

    \begin{align*} \frac{a}{b}+\frac{c}{d}&:=\frac{ad+bc}{bd}\\  \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}&:=\frac{ac}{bd}. \end{align*}

Exercise 3 Tunjukkan bahwa unsur di {T(R_S)} berbentuk

\displaystyle  \frac{\sum_{i=1}^m s_iu_i}{\sum_{i=1}^n t_iv_i}

dengan {m,n\in \mathbb{N}, s_i,t_i\in K} dan {u_i,v_i\in W_S} ({t_i} tidak semuanya nol).

Dari daerah integral {R_S} kita memperoleh lapangan {T(R_S)}. Kita ingin membandingkan antara lapangan {T(R_S)} dan {K(S)}. Perhatikan karena {1\in W_s} maka {k\cdot 1\in R_S} untuk setiap {k\in K}. Ini menunjukkan bahwa juga {T(R_S)/K} merupakan lapangan perluasan. Dari definisi {R_S} jelas bahwa {S} termuat di {T(R_S)}. Karena keminimalan {K(S)} maka kita simpulkan {K(S)\subseteq T(R_S)}. Sebaliknya dari definisi {W_S} jelas bahwa {W_S\subseteq K(S)}. Akibatnya {R_S\subseteq K(S)}. Berdasarkan keminimalan {T(R_S)} maka {T(R_S)\subseteq K(S)}.

Dari apa yang kita lakukan di atas kita simpulkan sebagai berikut.

Theorem 3

    \[K(S)=T(R_S)=\left\{\frac{\sum_{i=1}^m s_iu_i}{\sum_{i=1}^n t_iv_i} \,\bigg |\, \sum_{i=1}^m s_iu_i, \sum_{i=1}^n t_iv_i \in R_s \exists i \ni t_i\neq 0\right\}.\]

Ketika {S} suatu singleton {S=\{\alpha\}}, {K(S)} kita tuliskan sebagai {K(\alpha)} dan kita sebut sebagai perluasan dari {K} yang diperoleh dengan menempelkan {\alpha}. Dalam kasus ini {W_S=W_\alpha =\{1,\alpha, \alpha^2,\ldots \}}. Kemudian berturut-turut

\displaystyle R_\alpha =\{k_0+k_1\alpha+k_2\alpha^2+\cdots +k_n\alpha^n\,|\, n\in \mathbb{N}, k_i\in K\}

dan

    \begin{align*} K(\alpha)&=\left\{\frac{k_o+k_1\alpha+\cdots +k_n\alpha^n}{t_o+t_1\alpha+\ldots+t_m\alpha^m} \,\bigg|\, k_i,t_i\in K, \text{ penyebut taknol }\right\} \\ &=\left\{\frac{f(\alpha)}{g(\alpha)}\,\bigg |\, f(x),g(x)\in K[x] \text{ dengan } f(x)\neq 0\right\}  . \end{align*}

Example 1 Unsur di {\mathbb{Q}(\pi)} berbentuk pecahan {\displaystyle\frac{f(\pi)}{g(\pi)}} dengan {f(x),g(x)} polinom dengan koefisen rasional dan {g(x)\neq 0}.

Example 2 Tinjau {\mathbb{Q}(\alpha)} dengan {\alpha=\sqrt{2}}. Perhatikan bahwa {\alpha^2=2} dan akibatnya {\alpha^{2k}=2^k\in \mathbb{Q}}, yakni {\alpha^i\in \mathbb{Q}} untuk {i} genap. Dengan menggunakan informasi ini untuk {k_i\in\mathbb{Q}} kita peroleh

\displaystyle k_o+k_1\alpha+\cdots +k_n\alpha^n=\left(\sum_{i \text{ genap }} k_i\alpha^i\right) +\left(\sum_{i \text{ ganjil}} k_i\alpha^{i-1}\right) \alpha=a+b\alpha

untuk suatu {a,b\in \mathbb{Q}}. Dengan demikian

\displaystyle  \mathbb{Q}(\alpha)=\left\{\frac{a+b\alpha}{c+d\alpha}\,\bigg |\, a,b,c,d\in \mathbb{Q} \text{ dengan } c,d \text{ tidak keduanya nol}\right\}.

Kita bisa menyederhanakan {\mathbb{Q}(\alpha)} lebih lanjut. Perhatikan bahwa

\displaystyle \frac{a+b\alpha}{c+d\alpha}=\frac{a+b\alpha}{c+d\alpha}\cdot \frac{c-d\alpha}{c-d\alpha}=\frac{(ac+dbd)+(ad+bc)\alpha}{c^2-2d^2}.

Karena {c^2-d^2\in \mathbb{Q}} maka {\frac{(ac+dbd)+(ad+bc)\alpha}{c^2-2d^2}} dapat dituliskan ke dalam bentuk {p+q\alpha} dengan {p,q} rasional. Jadi kita dapatkan deskripsi paling sederhana dari {\mathbb{Q}(\alpha)} yakni

\displaystyle  \mathbb{Q}(\sqrt{2})=\{p+q\sqrt{2}\mid p,q\in \mathbb{Q}\}.

Exercise 4 Nyatkan bentuk paling sederhana dari unsur-unsur di {\mathbb{Q}(\beta)} dengan {\beta=\sqrt{2-\sqrt{3}}}.

Exercise 5 Urutkan ketiga perluasan {\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3}), \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})} dan {\mathbb{Q}(\sqrt{6})} dari yang terkecil sampai yang terbesar. Apakah diantara ketiganya ada yang merupakan himpunan yang sama?

3. Unsur Aljabarik

Definition 4 Misalkan {L/K} suatu perluasan. Unsur {\alpha\in L} dikatakan aljabarik atas {K} jika terdapat polinom {f(x)\in K[x]} sehingga {f(\alpha)=0}. Unsur yang tidak aljabarik dikatakan transenden.

Unsur-unsur di {K} tentunya aljabarik atas {K} karena untuk setiap {\alpha\in K} polinom {f(x)=x-k\in K[x]} memenuhi {f(\alpha)=0}. Unsur-unsur berikut merupakan beberapa contoh unsur aljabarik atas {\mathbb{Q}}: {\sqrt{2}, \sqrt{2-\sqrt{3}}, \sqrt{2}+\sqrt{3}}. Telah dibuktikan oleh Hermite (1834) bahwa {\pi} dan {e} keduanya transenden atas {\mathbb{Q}}. Akan tetapi masih merupakan masalah terbukan tentang apakah {\pi+e} merupakan unsur aljabarik atau transenden atas {\mathbb{Q}}.

Dalam subbab ini kita akan menunjukkan, seperti halnya yang kita lihat di contoh pada {\mathbb{Q}(\sqrt{2})}, bahwa ketika {\alpha } aljabarik atas {K} maka {K(\alpha)} mempunyai deskripsi sederhana. Untuk menunjukkan hal tersebut kita memerlukan beberapa persiapan yang kita jadikan sebagai soal latihan.

Exercise 6 Misalkan {L/K} suatu perluasan dan {\alpha\in L} aljabarik atas {K}.

  1. Tunjukkan bahwa himpunan {I:=\{f(x)\in K[x]\mid f(\alpha)=0 \}} merupakan suatu ideal.
  2. Tunjukkan bahwa {I} ideal utama yang dibangun oleh suatu polinom monik tunggal {m_{\alpha}(x)} yang taktereduksi atas {K}. Polinom {m_\alpha(x)} kita sebut sebagai polinom minimal dari {\alpha} atas {K}.
  3. Untuk setiap {g(x)\neq 0 \in K[x]} tunjukkan bahwa terdapat {h(x),p(x)\in K[x]} sehingga {g(x)h(x)+m_\alpha(x)p(x)=1}.

Dari subbab berikutnya kita ingat bahwa

\displaystyle  K(\alpha)=\{f(\alpha)/g(\alpha) \mid f(x),g(x)\in K[x] \text{ dengan } g(x)\neq 0\}.

Karena {g(x)h(x)+m_{\alpha}(x)p(x)=1} maka {g(\alpha)h(\alpha)=1}. Ini menunjukkan jika {g(x)} tidak nol maka {g(\alpha)} memiliki invers berbentuk {h(\alpha)} untuk suatu polinom {h(x)}.

Dengan demikian tipikal unsur di {K(\alpha)} berbentuk

\displaystyle  \frac{f(\alpha)}{g(\alpha)}=\frac{f(\alpha)h(\alpha)}{1}.

Dengan algoritma Euclide pada {K[x]} terhadap {f(x)h(x)} dan {m_\alpha(x)}, kita bisa tuliskan {f(x)h(x)=q(x)m_\alpha(x)+r(x)} dengan {r(x)=0} atau derajat {r(x)} kurang dari derajat {m_\alpha(x)}. Substitusikan {\alpha} ke persamaan diperoleh {f(\alpha)h(\alpha)=r(\alpha)}. Hasil ini menunjukkan bahwa tipikal unsur di {K(\alpha)} berbentuk {r(\alpha)} dengan {r(x)\in K[x]} berderajat kurang dari derajat {m_\alpha(x)}. Kita simpan hasil ini dalam teorema berikut.

Theorem 5 Misalkan {\alpha} aljabarik atas {K} dan misalkan minimal polinomialnya berderajat {n}. Maka

\displaystyle  K(\alpha)=\left\{k_0+k_1\alpha+\cdots k_{n-1}\alpha^{n-1}\mid k_i\in K\right\}.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *