Domain + Finiteness = Field

Pada artikel ini akan dibahas tentang kondisi keberhinggaan yang memaksa suatu daerah integral menjadi lapangan. Kita mulai dengan dua lemma berikut.

Lemma 1 Jika {A} adalah himpunan berhingga maka {f:A\rightarrow A} injektif jika dan hanya jika {f} surjektif.

Proof: Misalkan {A=\{a_1,a_2,\ldots, a_n\}} dan {f} injektif. Karena {f} injektif maka {f(a_1),\ldots, f(a_n)} adalah {n} buah unsur yang berbeda di {A}. Karena {\{f(a_1),\ldots, f(a_n)\}\subseteq A} dan keduanya mempunyai banyak unsur yang sama, maka haruslah keduanya merupakan himpunan yang sama. Jadi {f} surjektif.

Jika {f} tidak injektif maka ada {a_i,a_j} dua unsur berbeda di {A} sehingga {f(a_i)=f(a_j)}. Dengan demikian {|\{f(a_1),\ldots, f(a_n)\}|\leq n-1}. Akibatnya {\{f(a_1),\ldots, f(a_n)\}\neq A} dan {f} tidak surjektif. \Box

Lema berikutnya adalah mengenai pemetaan linier pada ruang vektor berdimensi hingga.

Lemma 2 Misalkan {V} adalah sebuah ruang vektor berdimensi hingga {n}. Pemetaan linier {T:V\rightarrow V} injektif jika dan hanya jika {T} surjektif.

Proof: Menurut teorema dimensi berlaku {n=\dim(V)=\text{rank }(T)+\text{nolitas }(T)}. Perhatikan bahwa

\displaystyle T \text{ surjektif }\Leftrightarrow\text{rank }(T)=n \Leftrightarrow \text{nolitas }(T)=0 \Leftrightarrow T \text{ injektif}

\Box

Sekarang kita akan lihat dua kondisi keberhinggaan yang memaksa suatu daerah integral menjadi lapangan.

Proposition 3 Setiap daerah integral hingga {R} merupakan suatu lapangan.

Bukti

Proof: kita hanya perlu menunjukkan bahwa setiap unsur taknol di {R} memiliki invers. Ambil {r\neq 0} di {R}. Tinjau pemetaan {f:R\rightarrow R} melalui {f(x)=xr}. Perhatikan bahwa jika {xr=yr} maka {(x-y)r=0}. Karena {R} daerah integral dan {r\neq 0} maka {x=y}. Dengan demikian {f} injektif. Menurut lema di atas ini mengakibatkan {f} juga surjektif. Khususnya terdapat {z\in R} sehingga {1=f(z)=zr}. Karena domain merupakan gelanggang komutatif, maka berlaku juga {zr=1}. Dengan demikian {r} mempunyai invers {z} dan {R} suatu lapangan. \Box

[collapse]

Lemma 4 Setiap daerah integral {R} yang juga merupakan suatu ruang vektor berdimensi hingga atas suatu lapangan {K} adalah suatu lapangan.

Situasi dimana gelanggang {R} merupakan ruang vektor atas {K} bisa terjadi ketika {R} memuat lapangan {K}. Dengan menggunakan unsur di {K} sebagai skalar mudah diperiksa bahwa dengan penjumlahan di {R} dan perkalian skalar merupakan perkalian di gelanggan {R} maka daerah gelanggang {R} merupakan ruang vektor atas {K}.

Bukti

Proof: Ambil {r\neq 0} di {R}. Definisikan pemetaan {T(x)=xr}. Perhatikan bahwa untuk setiap {\alpha,\beta \in K} dan {u,v\in R} berlaku

\displaystyle T(\alpha u+\beta v)=(\alpha u+\beta v)r=\alpha ur+\beta vr=\alpha T(u)+\beta T(v).

Dengan demikian {T} adalah suatu pemetaan linier. {T} juga injektif karena {0=T(x)=xr} mengakibatkan {x=0} yang menunjukkan bahwa {\ker T= 0}. Sekarang dengan menggunakan lemma kita peroleh {T} surjektif dan seperti argumen pada proposisi di atas ini membawa kita kepada eksistensi invers dari {r}. Jadi {R} lapangan. \Box

[collapse]

5 Replies to “Domain + Finiteness = Field”

  1. Prop 3 juga merupakan akibat langsung dari Lemma 4 karena setiap daerah integral hingga adalah ruang vektor berdimensi hingga atas suatu lapangan hingga.

      1. Misalkan R suatu daerah integral hingga. Tinjau pemetaan kanonik \mathbb{Z}\rightarrow R. Kernel dari pemetaan ini adalah ideal maksimal p\mathbb{Z} untuk suatu bilangan prima p. Dengan demikian, R memuat suatu lapangan yang isomorfik dengan \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}.

    1. Telah disebutkan sebelumnya “Situasi dimana gelanggang {R} merupakan ruang vektor atas {K} bisa terjadi ketika {R} memuat lapangan {K}.”

      Setiap daerah integral hingga selalu mempunyai karakteristik prima dan ia memuat lapangan hingga dengan banyak unsur bilangan prima tersebut.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *