Dua Soal Struktur Aljabar ONMIPA 2016

Pada tulisan kali ini akan dibahas tentang soal ONMIPA 2016 bidang matematika untuk sub-bidang struktur aljabar.

Soal Hari Pertama

Misalkan {x} pembagi nol kiri dan {y} pembagi nol kanan di suatu ring hingga {R}. Buktikan bahwa {xy} sekaligus merupakan pembagi nol kiri dan kanan.

Beberapa peserta berhasil menyelesaikan masalah ini. Solusi alamiah muncul dari sebuah wishful thinking, kalau saja {y} juga merupakan pembagi nol kiri, yakni ada {u\neq 0} sehingga {yu=0} maka {xy} akan menjadi pembagi nol kiri, karena {xyu=x(yu)=x\cdot 0=0}. Sekarang memangnya kenapa jika {y} bukan pembagi nol kiri ? Jika {y} bukan pembagi nol kiri maka pemetaan {s\mapsto ys} dari {R} ke {R} merupakan pemetaan yang injektif (periksa!). Karena {R} hingga maka pemetaan ini juga surjektif. Karena {x} pembagi nol kiri, maka ada {v\neq 0} sehingga {xv=0}. Karena {s\mapsto ys} surjektif, ada {t\in R} sehingga {yt=v}. Ini mengakibatkan {xyt=xv=0}. Jadi {xy} pembagi nol kiri.

Untuk menunjukkan bahwa {xy} juga merupakan pembagi nol kanan, kami serahkan kepada pembaca.

Cara lain yang lebih teoretis adalah dengan pertama membuktikan lemma berikut

Bukti Lain

Lemma 1 {a\neq 0} merupakan pembagi nol kanan jika dan hanya jika {Ra\subset R} (subset sejati). Proof: Jika {a} bukan pembagi nol kanan, maka pemetaan {u\mapsto ua} tidak injektif dan akibanya tidak surjektif (karena {R}) hingga. dengan demikian {Ra} subset sejati dari {R}. Sebaliknya jika {Ra} subset sejati dari {R} maka {u\mapsto ua} tidak surjektif dan akibatnya tidak injektif. Berarti ada {u\neq v} sehingga {ua=va}, yang berakibat {(u-v)a=0}. Jadi {a} pembagi nol kanan. \Box Untuk pembagi nol kiri kita punya lema yang serupa. Lemma 2 {a\neq 0} merupakan pembagi nol kiri jika dan hanya jika {aR\subset R}. Sekarang jika {x} pembagi nol kiri dan {y} pembagi nol kanan maka {xR\subset R} dan {Ry\subset R}. Karena {(xy)R=x(yR)\subseteq xR\subset R} maka {xy} pembagi nol kiri. Demikian pula karena {R(xy)=(Rx)y\subseteq Ry\subset R} maka {xy} pembagi nol kanan.

[collapse]

Soal tentang struktur aljabar berikutnya adalah sebagai berikut:

Soal Hari Kedua

Misalkan {G} grup berorde {n} dan {p} adalah bilangan prima terkecil sehingga {p} membagi {n}. Jika {H} adalah satu-satunya subgrup dari {G} berorde {p}, tunjukkan bahwa {gh=hg} untuk setiap {g\in G} dan {h\in H}.

Bukti 1

Ambil {g\in G}. Perhatikan bahwa {gHg^{-1}} juga merupakan subgrup berorde {p}. Dari kondisi yang diberikan soal kita peroleh {gHg^{-1}=H}. Akibatnya pemetaan {f:H-\{e\}\rightarrow H-\{e\}} melalui {f(h)=ghg^{-1}} terdefinisi dengan baik. Mudah diperiksa bahwa pemetaan ini merupakan suatu pemetaan bijektif. Karenanya kita bisa melihat {f} sebagai permutasi atas {p-1} unsur, yakni {f\in S_{p-1}}. Karena {|S_{p-1}|=(p-1)!} maka {f^{(p-1)!}= \text{pemetaan identitas }}. Perhatikan bahwa {f^{n}(h)=g^nh(g^{-1})^n=h} (karena {g^n=e} untuk setiap {g\in G}). Dengan demikian orde {f} sekaligus membagi {(p-1)!} dan membagi {n}. Jika orde {f} adalah {t\neq 1} maka {t} mempunyai faktor prima {q}. Karena {t\mid (p-1)!} dan {t\mid n} maka {q\mid n} dan {q\mid (p-1)!} sehingga {q\leq p-1} adalah bilangan prima yang kurang dari {p} yang membagi {n} (kontradiksi!). Jadi haruslah orde {f} adalah 1 atau dengan kata lain {ghg^{-1}=h\Leftrightarrow gh=hg}.

[collapse]
Bukti 2

Cara lain dengan menggunakan aksi grup adalah sebagai berikut. Tinja aksi dari {G} terhadap {H} dengan konjugasi {g\cdot h=ghg^{-1}} untuk setiap {g\in G} dan {h\in H}. Aksi ini terdefinisi dengan baik karena {gHg^{-1}=H}. Ambil {h\neq e} di {H}. Menurut teorema orbit-stabilizer kita peroleh \displaystyle |G|=|\text{orbit}(h)||G_h| dengan {\text{orbit }(h)=\{ghg^{-1}\mid g\in G\}} dan {G_h=\{g\in G\mid ghg^{-1}=h\}}. Karena {h\neq e} maka {ghg^{-1}\neq e} untuk setiap {g\in G} atau dengan kata lain {e\not \in \text{orbit }(h)}. Jadi {|\text{orbit} (h)|\leq p-1}. Jika {|\text{orbit} (h)|> 1} maka ada prima {q} sehingga {q\mid |\text{orbit} (h)| \mid n}. Jadi {q\mid n} dan {q\leq p-1} yang bertentangan dengan fakta bahwa {p} adalah prima terkeil yang membagi {n}. Jadi haruslah {|\text{orbit} (h)|=1}. Karena {h\in \text{orbit} (h)} maka haruslah {ghg^{-1}=h \Leftrightarrow gh=hg} untuk setiap {g\in G}.

[collapse]

 

2 Replies to “Dua Soal Struktur Aljabar ONMIPA 2016”

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *