Pada tulisan kali ini akan dibahas tentang soal ONMIPA 2016 bidang matematika untuk sub-bidang struktur aljabar.
Soal Hari Pertama
Misalkan pembagi nol kiri dan
pembagi nol kanan di suatu ring hingga
. Buktikan bahwa
sekaligus merupakan pembagi nol kiri dan kanan.
Beberapa peserta berhasil menyelesaikan masalah ini. Solusi alamiah muncul dari sebuah wishful thinking, kalau saja juga merupakan pembagi nol kiri, yakni ada
sehingga
maka
akan menjadi pembagi nol kiri, karena
. Sekarang memangnya kenapa jika
bukan pembagi nol kiri ? Jika
bukan pembagi nol kiri maka pemetaan
dari
ke
merupakan pemetaan yang injektif (periksa!). Karena
hingga maka pemetaan ini juga surjektif. Karena
pembagi nol kiri, maka ada
sehingga
. Karena
surjektif, ada
sehingga
. Ini mengakibatkan
. Jadi
pembagi nol kiri.
Untuk menunjukkan bahwa juga merupakan pembagi nol kanan, kami serahkan kepada pembaca.
Cara lain yang lebih teoretis adalah dengan pertama membuktikan lemma berikut
Lemma 1 merupakan pembagi nol kanan jika dan hanya jika
(subset sejati). Proof: Jika
bukan pembagi nol kanan, maka pemetaan
tidak injektif dan akibanya tidak surjektif (karena
) hingga. dengan demikian
subset sejati dari
. Sebaliknya jika
subset sejati dari
maka
tidak surjektif dan akibatnya tidak injektif. Berarti ada
sehingga
, yang berakibat
. Jadi
pembagi nol kanan.
Untuk pembagi nol kiri kita punya lema yang serupa. Lemma 2
merupakan pembagi nol kiri jika dan hanya jika
. Sekarang jika
pembagi nol kiri dan
pembagi nol kanan maka
dan
. Karena
maka
pembagi nol kiri. Demikian pula karena
maka
pembagi nol kanan.
Soal tentang struktur aljabar berikutnya adalah sebagai berikut:
Soal Hari Kedua
Misalkan grup berorde
dan
adalah bilangan prima terkecil sehingga
membagi
. Jika
adalah satu-satunya subgrup dari
berorde
, tunjukkan bahwa
untuk setiap
dan
.
Ambil . Perhatikan bahwa
juga merupakan subgrup berorde
. Dari kondisi yang diberikan soal kita peroleh
. Akibatnya pemetaan
melalui
terdefinisi dengan baik. Mudah diperiksa bahwa pemetaan ini merupakan suatu pemetaan bijektif. Karenanya kita bisa melihat
sebagai permutasi atas
unsur, yakni
. Karena
maka
. Perhatikan bahwa
(karena
untuk setiap
). Dengan demikian orde
sekaligus membagi
dan membagi
. Jika orde
adalah
maka
mempunyai faktor prima
. Karena
dan
maka
dan
sehingga
adalah bilangan prima yang kurang dari
yang membagi
(kontradiksi!). Jadi haruslah orde
adalah 1 atau dengan kata lain
.
Cara lain dengan menggunakan aksi grup adalah sebagai berikut. Tinja aksi dari terhadap
dengan konjugasi
untuk setiap
dan
. Aksi ini terdefinisi dengan baik karena
. Ambil
di
. Menurut teorema orbit-stabilizer kita peroleh
dengan
dan
. Karena
maka
untuk setiap
atau dengan kata lain
. Jadi
. Jika
maka ada prima
sehingga
. Jadi
dan
yang bertentangan dengan fakta bahwa
adalah prima terkeil yang membagi
. Jadi haruslah
. Karena
maka haruslah
untuk setiap
.
Bagus postingannya.
Mau nanya. Bagaimana sih cara membuat tombol dropdown BUKTI 1 DAN BUKTI 2 (yg bisa dicollapse) sprti itu?
Gunakan plugin BBSpoiler (https://wordpress.org/plugins/bbspoiler/)