Prima berbentuk p=a^2+b^2.

Dalam tulisan ini akan ditunjukkan jika {p} adalah bilangan prima berbentuk {p=4k+1} jika dan hanya jika {p} dapat dituliskan sebagai penjumlahan dua bilangan kuadrat. Pembuktian di artikel ini akan memanfaatkan sifat bahwa {\mathbb{Z}[i]} merupakan suatu Unique Factorization Domain (UFD).

Pertama kita akan memerlukan teorema Wilson

Theorem 1 (Wilson)

\displaystyle  (p-1)!\equiv -1 {\pmod p}.

Proof: Pertama akan kita tunjukkan bahwa unsur taknol di {\mathbb{Z}_p} yang inversnya adalah dirinya sendiri hanyalah {1} dan {-1}. Jika {x^2=1} di {\mathbb{Z}_p}, maka {(x+1)(x-1)=0} dan karena {\mathbb{Z}_p} lapangan maka {x=1} atau {x=-1}. Dengan demikian semua unsur {1,2,\ldots, p-1} di {\mathbb{Z}_p} dapat dipasang-pasangkan dengan inversnya kecuali 1 dan -1. Dengan demikian {(p-1)!=-1} di {\mathbb{Z}_p}. \Box

Lemma 2 Jika {p=4k+1} maka terdapat {m\in \mathbb{Z}} sehingga {p} membagi {m^2+1}.

Proof: Perhatikan bahwa

\displaystyle  -1=(p-1)!=1\cdot 2\cdots 2k\cdot (-2k)\cdots (-2)= (-1)^{2k}\left(1\cdot 2\cdots 2k\right)^2

di {\mathbb{Z}_p}. Dengan demikian untuk {m=(2k)!} kita peroleh bahwa {p} membagi {m^2+1}. \Box

Theorem 3 (Fermat) Bilangan prima ganjil {p} berbentuk {p=4k+1} jika dan hanya jika terdapat {a,b} sehingga {p=a^2+b^2}.

Proof: Dari lemma di atas kita punyai {p} membagi {m^2+1=(m+i)(m-i)\in \mathbb{Z}[i]}. Perhatikan bahwa {p} tidak membagi baik {m+i} ataupun {m-i} karena jika misalnya {p(c+di)=m+i} maka {pd=1} yang jelas mustahil. Dengan demikian {p} tidak membagi {m+i}. Dengan cara serupa {p} tidak membagi {m-i}. Ini menunjukkan bahwa {p} bukan unsur prima di {\mathbb{Z}[i]}. Karena unsur taktereduksi adalah unsur prima di UFD maka {p} juga bukat unsur taktereduksi. Artinya ada {a+bi, c+di \in \mathbb{Z}[i]} sehingga {(a+bi)(c+di)=p}. Sekarang {N(a+bi)N(c+di)=N(p)=p^2}. Karena {a+bi,c+di} bukan unit maka {N(a+bi)} dan {N(c+di)} tidak sama dengan 1. Jadi haruslah {N(a+bi)=N(c+di)=p}. Akibatnya {a^2+b^2=N(a+bi)=p}.

Sebaliknya misalkan {p=a^2+b^2} untuk suatu bilangan bulat {a,b}. Karena {p} ganjil maka {a,b} tidak mungkin keduanya genap dan juga tidak mungkin keduanya ganjil. Tanpa mengurangi keumuman misalkan {a=2k} dan {b=2l+1}. Akibatnya {p=4k^2+4l^2+4l+1=4(k^2+l^2+l)+1}. \Box

One Reply to “Prima berbentuk p=a^2+b^2.”

  1. Alternatif setelah lemma 2:

    Misalkan p=4k+1 prima dan ambil m seperti di lemma 2. Tinjau semua bilangan asli berbentuk mx-y dengan 0\leq x,y\leq \sqrt p. Terdapat 0\leq x_1, y_1, x_2, y_2\leq \sqrt p sehingga p membagi (mx_1 - y_1) - (mx_2 -y_2) yang berakibat (x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2 = p.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *