Dalam tulisan ini akan ditunjukkan jika adalah bilangan prima berbentuk
jika dan hanya jika
dapat dituliskan sebagai penjumlahan dua bilangan kuadrat. Pembuktian di artikel ini akan memanfaatkan sifat bahwa
merupakan suatu Unique Factorization Domain (UFD).
Pertama kita akan memerlukan teorema Wilson
Theorem 1 (Wilson)
Proof: Pertama akan kita tunjukkan bahwa unsur taknol di
yang inversnya adalah dirinya sendiri hanyalah
dan
. Jika
di
, maka
dan karena
lapangan maka
atau
. Dengan demikian semua unsur
di
dapat dipasang-pasangkan dengan inversnya kecuali 1 dan -1. Dengan demikian
di
.
![]()
Lemma 2 Jika
maka terdapat
sehingga
membagi
.
Proof: Perhatikan bahwa
di . Dengan demikian untuk
kita peroleh bahwa
membagi
.
Theorem 3 (Fermat) Bilangan prima ganjil
berbentuk
jika dan hanya jika terdapat
sehingga
.
Proof: Dari lemma di atas kita punyai membagi
. Perhatikan bahwa
tidak membagi baik
ataupun
karena jika misalnya
maka
yang jelas mustahil. Dengan demikian
tidak membagi
. Dengan cara serupa
tidak membagi
. Ini menunjukkan bahwa
bukan unsur prima di
. Karena unsur taktereduksi adalah unsur prima di UFD maka
juga bukat unsur taktereduksi. Artinya ada
sehingga
. Sekarang
. Karena
bukan unit maka
dan
tidak sama dengan 1. Jadi haruslah
. Akibatnya
.
Sebaliknya misalkan untuk suatu bilangan bulat
. Karena
ganjil maka
tidak mungkin keduanya genap dan juga tidak mungkin keduanya ganjil. Tanpa mengurangi keumuman misalkan
dan
. Akibatnya
.
Alternatif setelah lemma 2:
Misalkan
prima dan ambil
seperti di lemma 2. Tinjau semua bilangan asli berbentuk
dengan
. Terdapat
sehingga
membagi
yang berakibat
.