Teorema Sylow

Theorem 1 (Sylow) Misalkan {G} grup hingga dan |G|=p^am dengan {p} tidak membagi {m}. Maka terdapat {H} subgrup dari {G} sehingga {|H|=p^a}.

Sebelum kita membuktikan teorema di atas kita memerlukan lemma berikut.

Lemma 2

\displaystyle  {p^am\choose p^a}\equiv m {\pmod p}.

Proof: Dapat dibuktikan dengan induksi bahwa {(x+1)^{p^a}\equiv x^{p^a}+1{\pmod p}}. Akibatnya

\displaystyle  (x+1)^{p^am}=\left((x+1)^{p^a}\right)^m\equiv (x^{p^a}+1)^m {\pmod m}.

Sekarang dengan melihat koefisien dari {x^{p^a}} dari kedua sisi kita peroleh

\displaystyle  {p^am\choose p^a}\equiv {m\choose 1}=m {\pmod p}.

\Box

Sekarang kita siap untuk membuktikan teorema Sylow. Bukti ini merupakan bukti yang diberikan oleh Wielandt.

Proof: Tinjau himpunan {\Omega:=\{X\subseteq G\mid |X|=p^a\}}. Perhatikan bahwa {|\Omega|={p^am\choose p^a}}, sehingga menurut lemma di atas, {\|\Omega|\equiv m {\pmod p}}. Karena {p\nmid m}, maka khususnya {p\nmid |\Omega|}.

Sekarang {G} beraksi pada {\Omega} lewat perkalian kanan. Karena {\Omega} merupakan gabungan dari orbit-orbit, maka kita bisa mempelajari {|\Omega|} lewat kardinalitas orbit-orbit aksi. Jika {p\mid |\mathcal{O}|} untuk setiap orbit {\mathcal{O}} maka otomatis {p\mid |\Omega|} yang bertentanga dengan apa yang sebelumnya kita dapatkan bahwa {p} tidak membagi {|\Omega|}. Dengan demikian ada {\mathcal{O}_X} yang memuat {X} sehingga {p\nmid |\mathcal{O}_X}.

Menurut teorema orbit-stabiliser, {|G_X||\mathcal{O}_X|=|G|} dengan {G_X} adalah stabiliser dari {X} di {G}. Karena {p^a\mid |G|} tapi {p\nmid |\mathcal{O}_X|} maka haruslah {p^a\mid |G_X|}. Khususnya {p^a\leq |G_X|}.

Berikutnya akan kita tunjukkan bahwa kardinalitas dari grup {H:=G_X} adalah tepat sebanyak {p^a}. Untuk setiap {x\in X} dan {h\in H} perhatikan bahwa

\displaystyle  xh\in Xh=X\cdot h=X (\text{ karena }h\in G_X).

Ini berarti bahwa {xH\subseteq X}. Akibatnya {|H|=|xH|\leq |X|=p^a} dan dari ketaksamaan sebelumnya kita simpulkan bahwa {|H|=p^a}. \Box

One Reply to “Teorema Sylow”

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *