Lema Gauss dan Keirasionalan Bilangan

Dulu, pertama kali saya melihat bukti bahwa {\sqrt{2}} irasional ketika mengambil mata kuliah Analisis Real di tingkat tiga. Mungkin memang sepertinya sangat terlambat, tapi yang saya ingat saya cukup terkesan melihat bukti tersebut. Agar mahasiswa mengenal hal ini sedini mungkin, saya sudah memberikannya kepada mahasiswa kalkulus saya semester ini.

Hasil keirrasionalan {\sqrt{2}} bisa diperumum. Dapat dibuktikan bahwa asalkan bilangan asli {k} bukanlah merupakan pangkat {n} dari suatu bilangan asli, yakni {k\neq m^n} untuk setiap bilangan asli {m}, maka {\sqrt[n]{k}} merupakan bilangan irasional.

Lebih lanjut jika {P(x)=x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n} merupakan polinom dengan {a_1,\ldots,a_n} merupakan bilangan bulat, maka akar dari {P(x)} adalah bilangan bulat atau bilangan irasional. Hasil ini dikenal dengan Lemma Gauss. Perhatikan bahwa dengan meninjau polinom {x^n-k} dengan {k\neq m^n} untuk sebarang bilangan bulat {m}, maka kita simpulkan bahwa {\sqrt[n]{k}} merupakan bilangan irasional.

Dalam tulisan ini kita akan membuktikan Lemma Gauss dengan argumen baru yang diberikan oleh David Gilat tahun 2012. Argumen baru ini hanya bersandar kepada sifat kelengkapan bilangan asli yang mengatakan bahwa setiap subhimpunan bilangan asli pasti memiliki unsur terkecil. Bukti Lemma Gauss yang standard meskipun sama-sama sederhananya tapi mengasumsikan beberapa pengetahuan dasar tentang sifat bilangan prima.

Theorem 1 (Lemma Gauss) Diberikan polinom {P(x)=x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n} dengan koefisien bulat. Jika {r} adalah akar rasional dari {P(x)}, maka {r} merupakan bilangan bulat.

Bukti Standard

Misalkan r=p/q dengan (p,q)=1 dan f(r)=0. Akibatnya \frac{p^n}{q^n}+\sum_{i=1}^{n-1} a_i \frac{p^{n-1}}{q^{n-1}}=0. Kalikan dengan q^n dan pindah ruas diperoleh p^n=-\sum_{i=1}^{n-1} p^iq^{n-i}. Perhatikan bahwa ruas kanan habis dibagi q. Jika q\neq 1 maka q mempunyai faktor prima t yang membagi q dan menurut persamaan di atas juga membagi p^n. Karena sifat bilangan prima maka t juga membagi p kontradiksi dengan (p,q)=1. Jadi haruslah q=1 dan r bulat.

[collapse]

Proof: Andaikan {r} adalah akar rasional dari {P(x)} yang tidak bulat. Maka terdapat suatu bilangan bulat {q} sedemikian sehingga {q< r< q+1}. Sekarang pandang himpunan

\displaystyle M:=\{m\in \mathbb{N}\mid mr,mr^2,\ldots,mr^{n-1} \text{ merupakan bilangan bulat}\}

Karena {M} merupakan subhimpunan dari bilangan asli, maka {M} mempunyai unsur terkecil, sebut ia {m}. Dari {P(r)=0} kita peroleh {r^n= -a_1r^{n-1}-a_2r^{n-2}+\cdots-a_{n-1}r-a_n}. Dengan mengalikan persamaan ini dengan {m} kita dapatkan

\displaystyle mr^n=-a_1mr^{n-1}-a_2mr^{n-2}+\cdots-a_{n-1}mr-a_n

dan kita simpulkan bahwa {mr^n} merupakan bilangan bulat (mengapa?). Sekarang tinjau bilangan {m':=(r-q)m}. Perhatikan bahwa berdasarkan definisi {m}, kita tahu bahwa {mr} bulat, demikian juga {qm} bulat karena {q} bulat. Dengan demikian {m'} bulat. Perhatikan pula bahwa untuk {i=1,\ldots, n-1} kita peroleh {m'r^i=(r-q)mr^i=mr^{i+1}-qmr^i} yang juga merupakan bilangan bulat arena {Q} bulat dan {mr^j} adalah bilangan bulat untuk {j=1,\ldots, n}. Jadi {m'\in M}. Akan tetapi perhatikan bahwa {0<(r-q)<(q+1)-q=1} yang mengakibatkan {m'=(r-q)m<m}. Ini bertentangan dengan fakta bahwa {m} adalah unsur terkecil di {M}.

Jadi haruslah {r} merupakan bilangan bulat. \Box

Berkaitan dengan keirasionalan bilangan, Lemma Gauss bisa kita baca sebagai berikut: jika {r} bukan bilangan bulat, tapi ia merupakan akar suatu polinom monik dengan koefisien bilangan bulat, maka haruslah {r} merupakan bilangan irasional.

Sebagai contoh jika {p} bilangan prima, jelas {\sqrt{p}} bukan bulat, karena jika bulat maka ia merupakan faktor dari {p}. Akan tetapi {\sqrt{p}} merupakan akar dari polinom monik {x^2-p}. Dengan demikian {\sqrt{p}} merupakan bilangan irasional.

Contoh yang lain, apakah {\sqrt{5}+\sqrt{11}} rasional? Pertama kita periksa apakah ia bulat? jika ia bulat maka demikian pula dengan {(\sqrt{5}+\sqrt{11})^2=16+2\sqrt{55}}. Akibatnya {2\sqrt{55}} bulat. Tapi hal tersebut tidak mungkin karena {14^2< (2\sqrt{55})^2<15^2} sehingga bilangan {2\sqrt{55}} terletak diantara dua bilangan bulat berurutan (14 dan 15) yang mengakibatkan {2\sqrt{55}} tidak bulat. Jadi {\sqrt{5}+\sqrt{11}} tidak bulat. Sekarang perhatikan dari perhitungan di atas kita peroleh

\displaystyle \left((\sqrt{5}+\sqrt{11})^2-16\right)^2=220

atau dengan kata lain {\sqrt{5}+\sqrt{11}} merupakan akar dari polinom monik {(x^2-16)^2-220=x^4-32x^2-24} dan menurut Lemma Gauss haruslah {\sqrt{5}+\sqrt{11}} irasional.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *