Aturan Perkalian – A Mathematician Impostor

Metode standard yang dipergunakan untuk menunjukkan aturan perkalian dalam penghitungan turunan adalah dengan menggunakan definisi turunan yang diterapkan kepada fungsi $f(x)g(x)$ . Menurut definisi

$\begin{align*} (fg)'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}. \end{align*}$

Selanjutnya kita gunakan trik mengurangkan dan menambahkan $f(x+h)g(x)$ kepada pembilang sehingga kita bisa menuliskan

$\begin{align*} \lim_{h\to 0} &\frac{f(x+h)\left(g(x+h)-g(x)\right)+ g(x)\left(g(x+h)-g(x)\right)}{h} \end{align*}$

yang kemudian dipecah menjadi dua limit yang setelah dihitung limitnya menghasilkan $f(x)g'(x)+f'(x)g(x)$ .

Berikut adalah cara lain untuk mendapatkan aturan perkalian tersebut dengan pertama-tama meninjau kasus khusus dari aturan perkalian dimana kedua fungsi yang dikalikan merupakan fungsi yang sama.

Lemma
Jika $u(x)$ punya turunan maka $(u^2)'(x)=2u(x)u'(x)$ .

Bukti.

$\begin{align*} (u^2)'(x)&=\lim_{h\to 0} \frac{u^2(x+h)-u^2(x)}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\left(u(x+h)+u(x)\right)\frac{u(x+h)-u(x)}{h}\\ &=2u(x)u'(x). \quad \box \end{align*}$

Sekarang kita kembali ingin menghasilkan turunan dari perkalian $f(x)g(x)$ . Kita akan menurunkan $(f+g)^2$ dalam dua cara. Pertama menurut lemma kita peroleh