Aturan Perkalian

Metode standard yang dipergunakan untuk menunjukkan aturan perkalian dalam penghitungan turunan adalah dengan menggunakan definisi turunan yang diterapkan kepada fungsi f(x)g(x). Menurut definisi

    \begin{align*} (fg)'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}. \end{align*}

Selanjutnya kita gunakan trik mengurangkan dan menambahkan f(x+h)g(x) kepada pembilang sehingga kita bisa menuliskan

    \begin{align*} \lim_{h\to 0} &\frac{f(x+h)\left(g(x+h)-g(x)\right)+ g(x)\left(g(x+h)-g(x)\right)}{h} \end{align*}

yang kemudian dipecah menjadi dua limit yang setelah dihitung limitnya menghasilkan f(x)g'(x)+f'(x)g(x).

Berikut adalah cara lain untuk mendapatkan aturan perkalian tersebut dengan pertama-tama meninjau kasus khusus dari aturan perkalian dimana kedua fungsi yang dikalikan merupakan fungsi yang sama.

Lemma
Jika u(x) punya turunan maka (u^2)'(x)=2u(x)u'(x).

Bukti.

    \begin{align*} (u^2)'(x)&=\lim_{h\to 0} \frac{u^2(x+h)-u^2(x)}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\left(u(x+h)+u(x)\right)\frac{u(x+h)-u(x)}{h}\\ &=2u(x)u'(x). \quad \box \end{align*}

Sekarang kita kembali ingin menghasilkan turunan dari perkalian f(x)g(x). Kita akan menurunkan (f+g)^2 dalam dua cara. Pertama menurut lemma kita peroleh

    \[ \left((f+g)^2\right)'=2(f+g)(f'+g')=2(ff'+gg'+fg'+gf'). \]

Sekarang dengan mengekspansi (f+g)^2 terlebih dahulu menjadi f^2+g^2+2fg. Maka

    \[ \left((f+g)^2\right)'=(f^2+g^2+2fg)'=2ff'+2gg'+2(fg)'. \]

Dengan membadingkan kedua ekspresi di atas diperoleh (fg)'=fg'+f'g.

Cara penurunan aturan perkalian diatas diambil dari artikel pendek berikut.

Rendered by QuickLaTeX.com

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *