1. Akar Polinom
Misalkan
merupakan polinom dengan koefisien real. Kita mengetahui bahwa tidak setiap polinom dengan koefisien real mempunyai akar real. Sebagai contoh
tidak mempunyai akar real karena untuk setiap
berlaku
. Dilain pihak kita mengetahui bahwa
memiliki akar kompleks
. Faktanya menurut Teorema Dasar Aljabar setiap polinom dengan koefisien real berderajat
memiliki
buah akar kompleks (dihitung beserta multiplistitasnya).
Dengan kata lain kita membuat persamaan
menjadi memiliki solusi dengan mengizinkan
merupakan unsur dari lapangan yang lebih luas
. Perhatikan bahwa jika
adalah lapangan lain yang mengandung
dan memuat
(akar dari
), maka
memuat semua ekspresi
untuk setiap
. Ini berarti bahwa
juga memuat
. Di sini kita bisa melihat bahwa
adalah lapangan terkecil yang memuat
dan sekaligus membuat persamaan
mempunyai solusi.
2. Lapangan Perluasan
Misalkan
suatu lapangan. Jika
merupakan lapangan dan
, kita katakan bahwa
merupakan lapangan perluasan dari
. Untuk selanjutnya ketika konteksnya jelas kita akan mengatakan bahwa
adalah perluasan dari
dan secara singkat bisa kita ungkapkan dengan mengatakan
adalah suatu perluasan. Perhatikan bahwa
merupakan perluasan dari
yang mengandung
(akar-akar dari
). Jika
adalah lapangan perluasan yang juga memuat
, maka dari sifat lapangan
memuat semua unsur berbentuk
dengan
. Dengan kata lain
memuat
. Dengan demikian kita bisa melihat
sebagai perluasan terkecil dari
yang memuat
.
Definition 1 Misalkan
suatu perluasan dan
. Himpunan
didefinisikan sebagai perluasan terkecil dari
yang memuat
.
Tentunya kita bertanya-tanya apakah
selalu ada? Perhatikan koleksi
dari perluasan
yang memuat
, yakni
. Koleksi ini tidak hampa karena
. Tinjau himpunan
. Sebagai latihan pembaca disarankan untuk mengerjakan latihan berikut yang menunjukkan eksistensi dari
.
Exercise 1 Tunjukkan bahwa
dengan menunjukkan bahwa
merupakan lapangan perluasan dari
terkecil yang memuat
.
Menurut pendefinisian
, himpunan
selalu diasumsikan termuat di suatu perluasan
. Akan tetapi berikutnya kita mungkin tidak akan secara eksplisit menyebutkan lapangan
yang memuat
. Kita katakan bahwa
adalah perluasan yang diperoleh dengan menempelkan
ke
.
Exercise 2 Buktikan bahwa
Untuk memperjelas soal latihan di atas, notasi
menyatakan perluasan dari
dengan menempelkan
sedangkan
berarti kita pertam menempelkan
pada
untuk mendapatkan
kemudian kita lanjutkan dengan menempelkan
ke
untuk mendapatkan
.
Berikutnya kita ingin mendapatkan pemahaman yang lebih dalam mengenai
kita ingin mengenali bagaimana bentuk unsur-unsur di
. Pertama kita definisikan himpunan
sebagai himpunan yang unsur-unsurnya adalah himpunan semua kata berhingga yang huruf-hurufnya berasal dari
. Dengan definisi kita anggap
sebagai perkalian dari nol buah unsur di
sehingga dengan kesepakatan ini
merupakan unsur di
. Sebagai contoh jika
maka
dan
adalah beberapa contoh unsur-unsur di
. Kemudian definisikan

Berdasarkan definisi dari
, jelas
tertutup terhadap operasi penjumlahan. Untuk operasi perkalian pertama perhatikan bahwa jika
maka
juga merupakan suatu kata di
. Dengan sifat distributi bisa kita tunjukkan bahwa untuk setiap
kita peroleh perkalian keduanya juga di
. Dengan kata lain
tertutup terhadap operasi perkalian. Ini menunjukkan bahwa
suatu subring dari
. Karena
lapangan maka
suatu daerah integral.
Sebelum kita lanjutkan kita akan mengingatkan pembaca akan fakta berikut.
Theorem 2 Misalkan
suatu daerah integral. Maka

adalah suatu lapangan dan merupakan lapangan terkecil yang memuat
. Lapangan
disebut sebagai field of fraction dari
.
merupakan himpunan kelas ekivalen dengan
jika dan hanya jika
. Penjumlahan dan perkalian di
didefinisikan melalui

Exercise 3 Tunjukkan bahwa unsur di
berbentuk

dengan
dan
(
tidak semuanya nol).
Dari daerah integral
kita memperoleh lapangan
. Kita ingin membandingkan antara lapangan
dan
. Perhatikan karena
maka
untuk setiap
. Ini menunjukkan bahwa juga
merupakan lapangan perluasan. Dari definisi
jelas bahwa
termuat di
. Karena keminimalan
maka kita simpulkan
. Sebaliknya dari definisi
jelas bahwa
. Akibatnya
. Berdasarkan keminimalan
maka
.
Dari apa yang kita lakukan di atas kita simpulkan sebagai berikut.
Theorem 3
![Rendered by QuickLaTeX.com \[K(S)=T(R_S)=\left\{\frac{\sum_{i=1}^m s_iu_i}{\sum_{i=1}^n t_iv_i} \,\bigg |\, \sum_{i=1}^m s_iu_i, \sum_{i=1}^n t_iv_i \in R_s \exists i \ni t_i\neq 0\right\}.\]](http://aleamsbarra.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-97b63cf34399e7c7cb0141cbd85e26cb_l3.png)
Ketika
suatu singleton
,
kita tuliskan sebagai
dan kita sebut sebagai perluasan dari
yang diperoleh dengan menempelkan
. Dalam kasus ini
. Kemudian berturut-turut

dan
![Rendered by QuickLaTeX.com \begin{align*} K(\alpha)&=\left\{\frac{k_o+k_1\alpha+\cdots +k_n\alpha^n}{t_o+t_1\alpha+\ldots+t_m\alpha^m} \,\bigg|\, k_i,t_i\in K, \text{ penyebut taknol }\right\} \\ &=\left\{\frac{f(\alpha)}{g(\alpha)}\,\bigg |\, f(x),g(x)\in K[x] \text{ dengan } f(x)\neq 0\right\} . \end{align*}](http://aleamsbarra.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-03786887983504c1be2fc4d9541d8a42_l3.png)
Example 1 Unsur di
berbentuk pecahan
dengan
polinom dengan koefisen rasional dan
.
Example 2 Tinjau
dengan
. Perhatikan bahwa
dan akibatnya
, yakni
untuk
genap. Dengan menggunakan informasi ini untuk
kita peroleh

untuk suatu
. Dengan demikian

Kita bisa menyederhanakan
lebih lanjut. Perhatikan bahwa

Karena
maka
dapat dituliskan ke dalam bentuk
dengan
rasional. Jadi kita dapatkan deskripsi paling sederhana dari
yakni

Exercise 4 Nyatkan bentuk paling sederhana dari unsur-unsur di
dengan
.
Exercise 5 Urutkan ketiga perluasan
dan
dari yang terkecil sampai yang terbesar. Apakah diantara ketiganya ada yang merupakan himpunan yang sama?
3. Unsur Aljabarik
Definition 4 Misalkan
suatu perluasan. Unsur
dikatakan aljabarik atas
jika terdapat polinom
sehingga
. Unsur yang tidak aljabarik dikatakan transenden.
Unsur-unsur di
tentunya aljabarik atas
karena untuk setiap
polinom
memenuhi
. Unsur-unsur berikut merupakan beberapa contoh unsur aljabarik atas
:
. Telah dibuktikan oleh Hermite (1834) bahwa
dan
keduanya transenden atas
. Akan tetapi masih merupakan masalah terbukan tentang apakah
merupakan unsur aljabarik atau transenden atas
.
Dalam subbab ini kita akan menunjukkan, seperti halnya yang kita lihat di contoh pada
, bahwa ketika
aljabarik atas
maka
mempunyai deskripsi sederhana. Untuk menunjukkan hal tersebut kita memerlukan beberapa persiapan yang kita jadikan sebagai soal latihan.
Exercise 6 Misalkan
suatu perluasan dan
aljabarik atas
.
- Tunjukkan bahwa himpunan
merupakan suatu ideal.
- Tunjukkan bahwa
ideal utama yang dibangun oleh suatu polinom monik tunggal
yang taktereduksi atas
. Polinom
kita sebut sebagai polinom minimal dari
atas
.
- Untuk setiap
tunjukkan bahwa terdapat
sehingga
.
Dari subbab berikutnya kita ingat bahwa
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle K(\alpha)=\{f(\alpha)/g(\alpha) \mid f(x),g(x)\in K[x] \text{ dengan } g(x)\neq 0\}.](http://aleamsbarra.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6faa647f0babd2d148202786f5e653f0_l3.png)
Karena
maka
. Ini menunjukkan jika
tidak nol maka
memiliki invers berbentuk
untuk suatu polinom
.
Dengan demikian tipikal unsur di
berbentuk

Dengan algoritma Euclide pada
terhadap
dan
, kita bisa tuliskan
dengan
atau derajat
kurang dari derajat
. Substitusikan
ke persamaan diperoleh
. Hasil ini menunjukkan bahwa tipikal unsur di
berbentuk
dengan
berderajat kurang dari derajat
. Kita simpan hasil ini dalam teorema berikut.
Theorem 5 Misalkan
aljabarik atas
dan misalkan minimal polinomialnya berderajat
. Maka
