Belajar Matematika

Salah satu ketaksamaan yang sering digunakan baik dalam kompetisi matematika adalah ketaksamaan Cauchy-Schwarz. Bunyi teoremanya sebagai berikut:

Theorem 1 (Cauchy-Schwarz) Untuk setiap barisan bilangan real $a_1,a_2,\ldots,a_n$ dan $b_1,b_2,\ldots,b_n$ berlaku \[\left(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n\right)^2\leq \left(a_1^2+a_2^2+\cdots a_n^2\right)\left(b_1^2+b_2^2+\cdots b_n^2\right)\] dengan ketaksamaan terjadi ketika \[\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\cdots =\frac{a_n}{b_n}\]

Dalam soal-soal kompetisi, reformulasi Cauchy-Schwarz dalam bentuk berikut terbukti sangat berguna

Theorem 2 (CS Engel Form) Misalkan $a_1,a_2,\ldots, a_n$ adalah barisan bilangan real dan $b_1,b_2,\ldots, b_n$ adalah barisan bilangan real positif. Maka berlaku \[\frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}+\cdots +\frac{a_n^2}{b_n}\geq \frac{(a_1+a_2+\cdots a_n)^2}{b_1+b_2+\cdots b_n}\ \ \ \ \ (2)\]

Proof: Ketaksamaan setara dengan \[(a_1+a_2+\cdots a_n)^2\leq \left(\frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}+\cdots +\frac{a_n^2}{b_n}\right)\left(b_1+b_2+\cdots +b_n\right)\] yang merupakan implikasi dari Cauchy-Schwarz karena ruas kiri bisa kita tuliskan sebagai \[\left(\frac{a_1}{\sqrt{b_1}}\sqrt{b_1}+\frac{a_2}{\sqrt{b_2}}\sqrt{b_2}+\cdots + \frac{a_n}{\sqrt{b_n}}\sqrt{b_n}\right)^2\] $\Box$

Contoh 1 Untuk setiap bilangan real $a,b,c$ berlaku \[ab+bc+ca\leq a^2+b^2+c^2\]

Solusi Menurut CS kita peroleh \[(ab+bc+ca)^2\leq (a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+a^2)\] Dengan menarik akar kedua ruas kita peroleh \[ab+bc+ca\leq |ab+bc+ca|\leq a^2+b^2+c^2\]

Contoh 2 (Nesbitt) Untuk setiap bilangan real positif $a,b,c$ berlaku \[\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}\]

Solusi Perhatikan bahwa \[ \begin{align*} \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}&=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{bc+ab}+\frac{c^2}{ca+ab}\\ &\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}\qquad\text{( CS Engel form )} \end{align*} \] Dengan demikian kita cukup membuktikan \[\frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}\geq \frac{3}{2}\] yang setara dengan \[(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)\] \[a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca\] Akan tetapi kita telah membuktikan kebenaran ketaksamaan terakhir pada soal sebelumnya.

Contoh 3 Untuk setiap bilangan positif $a,b$ buktikan bahwa \[\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\]

Solusi Dengan CS kita peroleh \[ \begin{align*} \frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}=\frac{\left(\frac{1}{b}\right)^2}{\frac{1}{a}}+\frac{\left(\frac{1}{a}\right)^2}{\frac{1}{b}}\geq \frac{\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\right)^2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \end{align*} \]

Contoh 4 Untuk setiap bilangan positif $a,b,c$ buktikan bahwa \[a^3b+b^3c+c^3a\geq abc(a+b+c)\]

Solusi Bagi kedua ruas dengan $abc$ untuk mendapatkan \[\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}\geq a+b+c\] Ketaksamaan ini jelas benar karena menurut CS kita peroleh \[\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}\geq \frac{(a+b+c)^2}{c+a+b}=a+b+c\]

Contoh 5 Untuk setiap barisan bilangan positif $a_1,a_2,\ldots, a_n$ berlaku \[\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\geq \frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots \frac{1}{a_n}}\]

Solusi Tulis ulang ketaksamaan di atas menjadi \[\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}\geq \frac{n^2}{a_1+a_2+\cdots a_n}\] Dengan CS kita peroleh \[\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}\geq \frac{\overbrace{\left(1+1+\cdots 1\right)^2}^n}{a_1+a_2+\cdots +a_n}=\frac{n^2}{a_1+a_2+\cdots +a_n}\]

Contoh 6 (IMO 95) Misalkan $a,b,c$ adalah bilangan real positif sedemikian sehingga $abc=1$. Buktikan bahwa \[\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(c+a)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\geq\frac{3}{2}\]

Solusi Perhatikan bahwa dengan CS kita dapatkan \[ \begin{align*} \text{ Ruas Kiri }&=\frac{(1/a)^2}{ab+ac}+\frac{(1/b)^2}{bc+ab}+\frac{(1/c)^2}{ca+bc}\\ &\geq \frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{2(ab+bc+ca)}\\ &=\frac{(bc+ca+ab)^2}{2(ab+bc+ca)}\\&=\frac{ab+bc+ca}{2} \end{align*} \] Dengan demikian kita cukup membuktikan bahwa $ab+bc+ca\geq 3$. Akan tetapi dengan AM-GM kita peroleh \[ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{(abc)^2}=3\]

Latihan (soal-soal di bawah akan di bahas di link berikut: http://olimpiade.org/Forum/?qa=1417/ketaksamaan-cauchy-schwarz)

1. Misalkan $a,b,c$ bilangan real positif. Buktikan bahwa \[\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}\geq \frac{9}{a+b+c}.\]
2. Misalkan $a,b,c>0$ dan $a+b+c=1$. Tunjukkan bahwa \[\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2+\left(c+\frac{1}{c}\right)^2\geq \frac{100}{3}.\]
3. Misalkan $a,b,x,y,z$ merupakan bilangan real positif. Buktikan bahwa \[\frac{x}{ay+bz}+\frac{y}{az+bx}+\frac{z}{ax+by}\ge\frac{3}{a+b}.\]
4. Misalkan $x_i>0$ dan $s=x_1+\cdots+x_n$. Tunjukkan bahwa \[\frac{s}{s-x_1}+\frac{s}{s-x_2}+\cdots+\frac{s}{s-x_n}\geq \frac{n^2}{n-1}.\]
5. Misalkan $a,b,c>0$. Tunjukkan bahwa \[\frac{a}{(b+c)^2}+\frac{b}{(c+a)^2}+\frac{c}{(a+b)^2}\geq \frac{9}{4(a+b+c)}.\]
6. Misalkan $a,b,c>0$. Buktikan bahwa \[\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{a^2+c^2}{a+c}\geq a+b+c.\]
7. Misalkan $x,y,z>0$. Buktikan bahwa \[\frac{x}{x+2y+3z}+\frac{y}{y+2z+3x}+\frac{z}{z+2x+3y}\geq \frac{1}{2}.\]
8. Misalkan $x,y,z>0$. Buktikan bahwa \[\frac{x^2}{(x+y)(x+z)}+\frac{y^2}{(y+z)(y+x)}+\frac{z^2}{(z+x)(z+y)}\geq \frac{3}{4}.\]
9. Misalkan $a,b,c,d,e$ bilangan real positif. Buktikan bahwa \[\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+e}+\frac{d}{e+a}+\frac{e}{a+b}\geq \frac{5}{2}.\]
10. Misalkan $a,b,c>0$ dan $ab+bc+ca=\frac{1}{3}$. Buktikan bahwa \[\frac{a}{a^2-bc+1}+\frac{b}{b^2-ca+1}+\frac{c}{c^2-ab+1}\geq \frac{1}{a+b+c}.\]
11. Misalkan $a,b,c>0$. Buktikan bahwa \[\frac{a+b}{b+c}\cdot \frac{a}{2a+b+c}+\frac{b+c}{c+a}\cdot \frac{b}{a+2b+c}+\frac{c+a}{a+b}\cdot \frac{c}{a+b+2c}\geq \frac{3}{4}.\]

Pustaka

• T. Andreescu, B. Enescu, Mathematical Olympiad Treasures, Birkhauser Boston,2006.
• A. Engel, Problem-Solving Strategies. Springer-Verlag New York, Inc., 1998.
• J. Herman, R. Kucera, J. Simsa, Equations and Inequalities, Springer-Verlag New York, Inc., 2000
• T. Andreescu, V. Cirtoaje, G. Dospinescu, M. Lascu, Old and New Inequalities, GIL Publishing House, 2004.

1. Persamaan

Mencari solusi suatu persamaan adalah salah satu tema sentral dalam matematika. Upaya untuk mencoba memecahkan dan memahami solusi dari persamaan suku-banyak $ {a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0=0}$ mendorong munculnya bilangan imajiner $ {i}$ yang memenuhi $ {i^2=-1}$ yang kemudian mendorong lahirnya bilangan kompleks dan analisis terhadap bilangan kompleks ini menghasilkan berbagai terapan terhadap bidang matemika yang lain dan juga bidang-bidang di luar matematika.

Kita mengetahui bahwa persamaan kuadrat $ {ax^2+bx+c=0}$ mempunyai solusi

$ \displaystyle x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Adalah alamiah untuk menanyakan apakah persamaan kubik, kuartik atau yang berderajat lebih tinggi mempunyai solusi serupa dengan di atas,yakni solusi yang bisa dituliskan dalam bentuk penjumlahan, perkalian dan penarikan akar. Pada abad ke 16 telah di ketahui bahwa persamaan kubik dan kuartik umum dapat dipecahkan dan solusinya dapat dituliskan dalam bentuk penjumlahan, perkalian dan penarikan akar.

Baru pada akhir abad ke 18 dan awal abad ke 19, Abel-Ruffini menunjukkan bahwa hal tersebut tidak bisa dilakukan pada persamaan umum berderajat lima. Kemudian ini mendorong lahirnya teori Galois yang oleh sebagian matematikawan di pandang sebagai salah satu hasil yang paling indah. Dengan teori Galois, selain mengkonfirmasi hasil yang telah diperoleh oleh Abel-Ruffini juga memungkinkan untuk mengidentifikasi persamaan berderajat lima yang mana saja yang mempunyai solusi dalam bentuk perkalian, penjumlahan dan penarikan akar.

2. Pendahuluan Sistem Persamaan Linier

Di dalam tulisan ini dan juga saya harap tulisan-tulisan kedepan, saya ingin meninjau Aljabar Linier sebagai usaha untuk mencari dan memahami solusi dari sistem persamaan linear. Dalam usaha ini termasuk didalamnya adalah bagaimana cara mencari solusi suatu persamaan linear? berapa banyak solusi yang dimiliki? apakah persamaan linier selalu memiliki solusi? adakah cara yang memudahkan pencarian solusi? dst.

Pertanyaan yang pertama muncul tentu saja adalah apakah itu persamaan linear? Sebelum memberikan definisi secara abstrak, mari kita lihat contoh berikut.

Dua potong baju dan tiga potong celana berharga Rp.310.000. Sedangkan empat potong baju dan dua potong celana berharga $ {340.000}$. Jika setiap baju berharga sama dan demikian pula dengan harga celana, berapakah harga dari sepotong baju dan sepotong celana?

Misalkan $ {x}$ menyatakan harga satu baju dan $ {y}$ menyatakan harga dari satu celana, dari informasi di atas kita peroleh

$\begin{align*} 2x+3y&=310.000\\
4x+2y&=340.000 \end{align*}$

Hurf $ {x}$ dan $ {y}$ disini menggambarkan suatu kuantitas yang belum kita ketahui dan ingin kita cari. Kita istilahkan mereka sebagai anu. Sedangkan bilangan-bilangan di depan $ {b}$ dan $ {c}$ kita sebut sebagai koefisien.

Sekarang kita siap untuk mendefinisikan sistem persamaan linier secara umum.

Suatu sistem persamaan linear yang terdiri dari $ {m}$ buah persamaan dan $ {n}$ buah anu $ {x_1,x_2,\ldots,x_n}$ adalah himpunan $ {m}$ buah persamaan berbentuk

$\begin{align*} k_{11}x_1+k_{12}x_2+\cdots+ k_{1n}x_n&= b_1\\
k_{21}x_1+k_{22}x_2+\cdots+k_{2n}x_n&=b_2\\
\vdots\quad &\quad\quad\vdots\\
k_{m1}x_1+l_{m2}x_2+\cdots+k_{mn}x_n&=b_m \end{align*}$

Mari kita kembali kepada persamaan linear pada contoh di atas. Pertama kita dapat melihat bahwa semakin banyak anunya, semakin banyak sistem persamaan linear kita pecahkan. Mengingat hal ini, kita mencari cara untuk mengurangi banyaknya anu. Perhatikan bahwa dengan mengalikan persamaan pertama dengan -2 kita peroleh $ {-4x-6y=-620.000}$. Jika persamaan ini kita tambahkan kepada persamaan kedua, kita peroleh

$ \displaystyle -4y=-280.000 $

yang merupakan suat persamaan dengan satu anu. Dan dengan membagi kedua ruas dengan -4, persamaan terakhir ini memberikan $ {y=70.000}$. Dengan menggunakan salah satu dari kedua persamaan awal , misalkan $ {2x+3y=310.000}$, subsitusi $ {y=70.000}$ menghasilkan $ {2x+210.000=310.000}$ dan kita dapatkan $ {x=50.000}$.

Mari kita berefleksi dengan apa yang telah kita lakukan:

1. Kita mengalikan persamaan persamaan pertama dengan -2, dan kemudian menambahkannya dengan persamaan kedua.
2. Membagi dengan hasil dari langkah 1, dengan -4 (atau mengalikan dengan -1/4).

Dari sana bisa kita rumuskan bahwa strategi untuk mendapatkan solusi dari suatu sistem persamaan linear adalah mengurangi banyaknya anu secara bertahap dengan melakukan langkah-langkah yang dilegalkan sebagai berikut:

1. Mengalikan suatu persamaan dengan suatu bilangan dan kemudian menambahkannya kepada bilangan yang lain.
2. Mengalikan/membagi suatu persamaan dengan suatu bilangan (tak nol).

Cari solusi dari sistem persamaan berikut:

1. $\begin{align*}3x+5y&=1\\
   7x+9y&=5\end{align*}$
2. $\begin{align*}x+y+2z&=4\\
   x+2y+z&=1\\
   3x-y-3z&=-2\end{align*}$

Dengan menurunkan di bawah tanda integral kita mempunyai alat untuk menyelesaikan persoalan-persoalan integral yang menarik. Pertama kita akan tuliskan apa itu menurunkan di bawah integral dan sekaligus membuktikannya.

Teorema 1 Misalkan $ {f:[a,b]\times[c,d]\rightarrow \mathbb{R}}$ adalah fungsi kontinu. Jika $ {\frac{\partial f}{\partial y}}$ kontinu maka

$ \displaystyle \frac{d}{dy}\int_a^b f(x,y)\,dx=\int_a^b \frac{\partial}{\partial y}f(x,y)\,dx. $

Bukti: Misalkan $ {F(y):=\int_a^b f(x,y)\,dx}$. Maka

$ \displaystyle \frac{F(y)-F(y_0)}{y-y_0}=\int_a^b \frac{f(x,y)-f(x,y_0)}{y-y_0}\, dx \ \ \ \ \ (1)$

Untuk suatu $ {x}$ yang tetap, fungsi $ {f(x,y)}$ kontinu sebagai fungsi dari variabel $ {y}$. Menurut Mean Value Theorem, terdapat $ {c_x}$ di antara $ {y}$ dan $ {y_0}$ sedemikian sehingga $ {f(x,y)-f(x,y_0)=\frac{\partial f}{\partial y}(x,c_x)(y-y_0)}$. Akibatnya integral di atas bisa dituliskan sebagai

$ \displaystyle \int_a^b \frac{\partial f}{\partial y}(x,c_x)\, dx \ \ \ \ \ (2)$

Dari persamaan (1) dan (2) kita dapatkan $\begin{align*}\biggl | \frac{F(y)-F(y_0)}{y-y_0}-\int_a^b \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\, dx\biggr|&=\biggl | \int_a^b \frac{\partial f}{\partial y}(x,c_x)\, dx-\int_a^b \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\, dx\biggr |\\&\leq \int_a^b \biggl|\frac{\partial f}{\partial y}(x,c_x)-\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\biggr|\,dx\end{align*}$ . Diberikan $ {\varepsilon >0}$. Karena $ {\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)}$ (sebagai fungsi dari $ {y}$) kontinu pada interval tutup $ {[c,d]}$, maka $ {\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)}$ kontinu secara seragam. Akibatnya ada $ {\delta >0}$ sedemikian sehingga untuk setiap $ {|y_1-y_2|<\delta}$ kita dapatkan

$ \displaystyle \biggl|\frac{\partial f}{\partial y}(x,y_1)-\frac{\partial f}{\partial y}(x,y_2)\biggr|<\frac{\varepsilon}{b-a} \ \ \ \ \ (3)$

Perhatikan bahwa untuk setiap $ {x}$ berlaku $ {|c_x-y|<|y_0-y|}$ (karena $ {c_x}$ di antara $ {y_0}$ dan $ {y}$). Dengan membuat $ {|y-y_0|<\delta}$ maka menurut (3) ekspresi pada (0) kurang dari $ {\varepsilon}$. $\Box$

Sekarang akan kita berikan contoh bagaimana teorema di atas dapat digunakan untuk menghitung integral.

Contoh 1 Kita akan tunjukkan bahwa

$ \displaystyle \int_0^\infty \frac{\sin x}{x}=\frac{\pi}{2} \ \ \ \ \ (4)$

Pertama, definisikan

$ \displaystyle F(y):=\int_0^\infty \frac{e^{xy}\sin x}{x}\,dx\qquad y\leq 0 $

Perhatikan bahwa $ {F’(y)=\int_0^\infty e^{xy}\sin x\, dx}$. Dengan menggunakan partial integral, dapat kita hitung (silakan dicoba)

$ \displaystyle F’(y)=\frac{e^{xy}(y\sin x-\cos x)}{1+y^2}\biggl\vert_{x=0}^{x=\infty} $

Perhatikan bahwa $ {|y\sin x-\cos x|\leq |y|+1}$. Karena $ {y<0}$ maka ketika $ {x\rightarrow\infty}$ kita peroleh $ {e^{xy}\rightarrow 0}$. Akibatnya $ {\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{e^{xy}(y\sin x-\cos x)}{1+y^2}=0}$ dan kita peroleh

$ \displaystyle F’(y)=-\frac{1}{1+y^2} $

Dengan mengintegralkan kedua ruas kita dapatkan $ {F(y)=-\arctan(y)+C}$. Dengan membandingkan dengan (4), didapat

$ \displaystyle \int_0^\infty \frac{e^{xy}\sin x}{x}\,dx=-\arctan(y)+C $

Ambil limit $ {y\rightarrow-\infty}$, kita peroleh

$ \displaystyle 0=\frac{\pi}{2}-C $

Jadi

$ \displaystyle \int_0^\infty \frac{e^{xy}\sin x}{x}\,dx=-\arctan(y)+\frac{\pi}{2}. $

Dengan substitusi $ {y=0}$ di dapat

$ \displaystyle \int_0^\infty \frac{\sin x}{x}=\frac{\pi}{2}. $

Catatan 1 Teorema di atas berlaku untuk fungsi yang kontinu pada kali silang interval tutup $ {[a,b]\times [c,d]}$, sedang kan pada soal $ {(x,y)\in[0,\infty]\times [-\infty,0]}$. Hal ini tidak menyalahi teorema, karena kita bisa bekerja pada interval tertutup $ {[0,r]\times [0,s]}$ terlebih dulu dan kemudian mengambil limit $ {r\rightarrow\infty}$ dan $ {s\rightarrow -\infty}$.